Polylogaritmen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Polylogaritmen en speciell funktion som definieras som

Speciella värden[redigera | redigera wikitext]

1.s är ett negativt heltal är polylogaritmen en rationell funktion av z:

och i allmänhet

där S(n,k) är Stirlingtalen av andra ordningen .

2.

där ζ är Riemanns zetafunktion. Inga liknande formler är kända för högre ordningar, men några något mer komplicerade formler är

som innehåller den alternerande dubbelsumman . I allmänhet gäller för heltal n ≥ 2

där ζ(s1, ..., sk) är multipel-zetafunktionen, exempelvis

3. Direkt ur polylogaritmens definition följer att

där ζ är Hurwitzs zetafunktion.

Integralrepresentationer[redigera | redigera wikitext]

För alla komplexa s och z gäller


Relation till andra funktioner[redigera | redigera wikitext]

och


utom då s=0,1,2,...

där 0 ≤ Re(x) < 1 om Im(x) ≥ 0, och 0 < Re(x) ≤ 1 om Im(x) < 0.

Av det här följer:

Gränsvärden[redigera | redigera wikitext]

Övrigt[redigera | redigera wikitext]

Definiera . Då gäller

och


Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Polylogarithm, 4 november 2013.