Ramanujans taufunktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Ramanujans taufunktion, uppkallad efter Srinivasa Ramanujan, funktionen definierad som

där är så att och är Dedekinds etafunktion.

Värden[redigera | redigera wikitext]

De första värdena av taufunktionen ges i följande tabell (talföljd A000594 i OEIS):

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 −24 252 −1472 4830 −6048 −16744 84480 −113643 −115920 534612 −370944 −577738 401856 1217160 987136

Ramanujans förmodanden[redigera | redigera wikitext]

Ramanujan (1916) observerade, men kunde inte bevisa, följande egenskaper av taufunktionen:

  • om (det vill säga är en multiplikativ funktion)
  • för primtal p och r > 0.
  • för alla primtal p.

De första två egenskaperna bevisades av Louis J. Mordell (1917) och den tredje, kallad för Ramanujan-Peterssons förmodan, bevisades 1974 av Pierre Deligne.

Kongruenser för taufunktionen[redigera | redigera wikitext]

För k ∈ Z och n ∈ Z>0, definiera σk(n) som summan av k-te potenserna av delarna av n. Taufunktion uppfyller flera kongruensrelationer, många av dem kan uttryckas i termer av σk(n). Då gäller följande kongruenser:[1]

  1. [2]
  2. [2]
  3. [2]
  4. [2]
  5. [3]
  6. [3]
  7. [4]
  8. [5]
  9. [5]
  10. [6]

För p ≠ 23 primtal gäller:[1][7]

  1. [8]

Förmodanden om τ(n)[redigera | redigera wikitext]

  • Anta att är en heltalsnyform av vikt och att dess Fourierkoefficienter är heltal. Betrakta följande problem: om saknar komplex multiplikation, bevisa att gäller för alla . De flesta primtalen borde ha denna egenskap, och sådana primtal kallas ordinära. Även om Deligne och Serre har gjort stora framsteg inom teorin av Galoisrepresentationer, som bestämmer för och relativt prima, vet vi inte hur man skall räkna . Den enda satsen av denna sort som bevisats är Elkies berömda resultat för modulära elliptiska kurvor som garanterar att det finns oändligt många primtal så att , av vilket följer. Man känner inte till exempel av icke-KM med vikt med mod för oändligt många primtal (även om det borde gälla för nästan alla ). Man känner inte heller till exempel där mod för oändligt många .
  • Lehmer (1947) förmodade att för alla , vilket har senare blivit känt som Lehmers förmodan. Lehmer kontrollerade att den gäller för . Bosman (2007) har bevisat att förmodan gäller för alla .

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Ramanujan tau function, 17 december 2013.
  1. ^ [a b] Page 4 of Swinnerton-Dyer 1973
  2. ^ [a b c d] Due to Kolberg 1962
  3. ^ [a b] Due to Ashworth 1968
  4. ^ Due to Lahivi
  5. ^ [a b] Due to D. H. Lehmer
  6. ^ Due to Ramanujan 1916
  7. ^ Due to Wilton 1930
  8. ^ Due to J.-P. Serre 1968, Section 4.5