Senära talsystemet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Två tärningar kan användas för senärkodning.

Senära talsystemet är ett talsystem med basen 6. Talsystemet är ett positionssystem med de sex siffrorna 0, 1, 2, 3, 4 och 5. För att påvisa att ett tal är skrivet i senära talsystemet kan man ha sänkt 6 efter talet, till exempel: 106 = 610.

Matematiska egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Senär multiplikationstabell
× 1 2 3 4 5 10
1 1 2 3 4 5 10
2 2 4 10 12 14 20
3 3 10 13 20 23 30
4 4 12 20 24 32 40
5 5 14 23 32 41 50
10 10 20 30 40 50 100

Senära talsystemet är användbart vid studium av primtal, eftersom alla primtal utom 2 och 3, slutar på 1 eller 5 i det senära talsystemet. De första primtalen uttryckt i det senära talsystemet är:

2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51, 101, 105, 111, 115, 125, 135, 141, 151, 155, 201, 211, …

Det vill säga, varje primtal p större än 3, har modulära aritmetiska förbindelser med antigen p ≡ 1 eller 5 (mod 6); de slutiga siffrorna är antigen 1 eller 5. Detta bevisas genom motsägelse. För varje heltal n:

  • Om n ≡ 0 (mod 6), 6 | n
  • Om n ≡ 2 (mod 6), 2 | n
  • Om n ≡ 3 (mod 6), 3 | n
  • Omn ≡ 4 (mod 6), 2 | n

Dessutom, eftersom de fyra första primtalen (2, 3, 5 och 7) antingen är delare eller grannar till 6, tillhandahåller senära talsystemet enkla delbarhetstest för många tal.

Alla jämna perfekta tal (vilket alla kända perfekta tal är) förutom 6 har 44 som de två sista siffrorna när de uttrycks i det senära talsystemet, vilket bevisar det faktum att alla perfekta tal är på formen 2p−1(2p−1), där 2p−1 är ett primtal.

Senära talsystemet är också den största talbasen r som inte har några totativer utöver 1 och r − 1, vilket gör dess multiplikationstabell mycket reguljär för talbasens storlek, vilket minimerar mängden arbete som krävs för att memorera tabellen. Denna egenskap maximerar sannolikheten att produkten av en heltalsmultiplikation slutar på 0, givet att ingen av dess faktorer gör det.

Bråk[redigera | redigera wikitext]

Eftersom sex är produkten av de två första primtalen och är intilliggande till de två kommande primtalen, har många senära bråk enkla representationer:

Decimala talsystemet
Basens primtalsfaktorer: 2, 5
Primtalsfaktorer av talbasen − 1: 3
Primtalsfaktorer av talbasen + 1: 11
Senära talsystemet
Basens primtalsfaktorer: 2, 3
Primtalsfaktorer av talbasen − 1: 5
Primtalsfaktorer av talbasen + 1: 11
Bråk Primfaktorer
(av nämnaren)
Positionsrepresentation Positionsrepresentation Primfaktorer
(av nämnaren)
Bråk
1/2 2 0,5 0,3 2 1/2
1/3 3 0,3333… = 0,3 0,2 3 1/3
1/4 2 0,25 0,13 2 1/4
1/5 5 0,2 0,1111… = 0,1 5 1/5
1/6 2, 3 0,16 0,1 2, 3 1/10
1/7 7 0,142857 0,05 11 1/11
1/8 2 0,125 0,043 2 1/12
1/9 3 0,1 0,04 3 1/13
1/10 2, 5 0,1 0,03 2, 5 1/14
1/11 11 0,09 0,0313452421 15 1/15
1/12 2, 3 0,083 0,03 2, 3 1/20
1/13 13 0,076923 0,024340531215 21 1/21
1/14 2, 7 0,0714285 0,023 2, 11 1/22
1/15 3, 5 0,06 0,02 3, 5 1/23
1/16 2 0,0625 0,0213 2 1/24
1/17 17 0,0588235294117647 0,0204122453514331 25 1/25
1/18 2, 3 0,05 0,02 2, 3 1/30
1/19 19 0,052631578947368421 0,015211325015211325 31 1/31
1/20 2, 5 0,05 0,014 2, 5 1/32
1/21 3, 7 0,047619 0,014 3, 11 1/33
1/22 2, 11 0,0045 0,01345242103 2, 15 1/34
1/23 23 0,0434782608695652173913 0,001322030441 35 1/35
1/24 2, 3 0,0416 0,013 2, 3 1/40
1/25 5 0,04 0,01235 5 1/41
1/26 2, 13 0,0384615 0,0121502434053 2, 21 1/42
1/27 3 0,037 0,012 3 1/43
1/28 2, 7 0,03571428 0,0114 2, 11 1/44
1/29 29 0,0344827586206896551724137931 0,01124045443151 45 1/45
1/30 2, 3, 5 0,03 0,01 2, 3, 5 1/50
1/31 31 0,032258064516129 0,010545 51 1/51
1/32 2 0,03125 0,01043 2 1/52
1/33 3, 11 0,03 0,01031345242 3, 15 1/53
1/34 2, 17 0,02941176470588235 0,01020412245351433 2, 25 1/54
1/35 5, 7 0,0285714 0,01 5, 11 1/55
1/36 2, 3 0,027 0,01 2, 3 1/100

Omvandlare[redigera | redigera wikitext]

Bas Namn Tal
2 Binära talsystemet 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000
3 Ternära talsystemet 0 1 2 10 11 12 20 21 22 100 101 102 110 111 112 120 121
4 Kvarternära talsystemet 0 1 2 3 10 11 12 13 20 21 22 23 30 31 32 33 100
5 Kvinära talsystemet 0 1 2 3 4 10 11 12 13 14 20 21 22 23 24 30 31
6 Senära talsystemet 0 1 2 3 4 5 10 11 12 13 14 15 20 21 22 23 24
7 Septenära talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 10 11 12 13 14 15 16 20 21 22
8 Oktala talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 17 20
9 Nonära talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17
10 Decimala talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
11 Undecimala talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 10 11 12 13 14 15
12 Duodecimala talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B 10 11 12 13 14
13 Tridecimala talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C 10 11 12 13
14 Tetradecimala talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D 10 11 12
15 Pentadecimala talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E 10 11
16 Hexadecimala talsystemet 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10

Se även[redigera | redigera wikitext]

  • Diceware – metod för att koda bas-6-värden i uttalbara lösenord

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Senary, 22 maj 2013.
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.