Tredjegradsekvation

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Graf över polynomfunktionen över intervallet .
Graf över polynomfunktionen över intervallet .
Bild som visar de talpar (p,q) för vilka diskriminanten är negativ (blå) och icke-negativ (röd). Negativa värden på D ger upphov till det intressanta fenomenet att reella tal kan representeras i termer av den imaginära enheten. Detta fenomen ledde forna tiders matematiker till upptäckten, eller konstruktionen, av det som vi idag kallar komplexa tal.

En tredjegradsekvation är en ekvation som kan skrivas på formen

(vanligen för reella koefficienter a, b, c och d). Lösningsformeln till dessa kallas Cardanos formel, efter Hieronymus Cardanus.

En tredjegradsekvation med reella koefficienter har tre lösningar, av vilka minst en (och annars alla tre) tillhör de reella talen.

Lösning för reella koefficienter[redigera | redigera wikitext]

Ekvationen kan skrivas om på formen

Genom substitutionen

kan ekvationen reduceras till formen

där

och

Genom att bilda diskriminanten

och sedan

fås rötterna till den ursprungliga ekvationen som

Historik[redigera | redigera wikitext]

Via studierna av lösningarna till tredjegradsekvationen kom matematiker för första gången i kontakt med den imaginära enheten, i, som slarvigt kan skrivas , vilket senare gav upphov till den gren inom modern matematik som kallas komplex matematisk analys.

Det visar sig att lösningsformeln ger representationer av reella tal i termer av uttryck involverande uttrycket , vilket till exempel sker om man tillämpar vissa andra lösningsformler på ekvationen x3 - 15 x = 4, varvid uttrycket dyker upp. Trots detta har ekvationen lösningarna

Det var mysterier av detta slag som ledde matematiker till att så småningom introducera begreppet komplexa tal.

Många nutida läroböcker inom matematik för gymnasieskolan introducerar symbolen i som en av lösningarna till andragrads-ekvationen . Det var dock inte alls denna ekvation som ledde forna tiders matematiker att introducera komplexa tal, då de ansåg att ekvationen x2 + 1 = 0 var meningslös.

del Ferros formel[redigera | redigera wikitext]

Matematikern Scipione del Ferro (1465-1526), som var verksam vid universitetet i Bologna, kunde reducera varje tredjegrads-ekvation

till en tredjegrads-ekvation som saknar andragrads-term på samma sätt som ovan:

genom att sätta , vilket ger och .

Första steget mot lösningen av ekvationen x3 + px = q består i att skriva det okända talet x som en summa av två tal: x = u + v. Detta ger oss ekvationen

del Ferros idé var att skapa en ekvation som är bestämd av p och en ekvation som är bestämd av q. Han lade till villkoret att 3uv + p = 0 som ger följande ekvationssystem:

Ekvationen gör att man kan skriva v som Om detta sätts in i ekvationen så fås ekvationen

Denna andragrads-ekvation i variablen har de två lösningarna

Eftersom u kan bytas ut mot v i lösningen ovan kan v tas att vara den andra roten. Sambandet ger oss slutligen en lösning till tredjegrads-ekvationen  :

Det skall nämnas att del Ferro endast studerade ekvationer med positiva koefficienter p och q. Sådana ekvationer har endast en reell lösning, vilket kan visas med hjälp av begreppet derivata och Bolzanos sats om mellanliggande värden.

Derivatan till funktionen är vilket är ett positivt tal oavsett värdet på det reella talet x. Detta visar att funktionen f är strängt växande. Talet är negativt, eftersom q är ett positivt tal. Vidare gäller att om väljer ett tal a som är tillräckligt stort, blir talet positivt.

Eftersom funktionen f är kontinuerlig, säger Bolzanos sats om mellanliggande värden att funktionen f antar alla värden som ligger mellan talen och . Speciellt antar funktionen värdet noll (0) för något värde x som ligger mellan talen 0 och a. Detta tal, x, är därför en lösning till ekvationen det vill säga Det faktum att funktionen f är strängt växande innebär att detta är den enda lösningen till tredjegrads-ekvationen.

Det är när man tillåter negativa koefficienter p och q i ekvationen som intressanta saker inträffar med del Ferros formel.

Härledning av de (möjligen) komplexa rötterna[redigera | redigera wikitext]

Låt vara den reella roten, till ekvationen Då kan polynomfunktionen skrivas som en produkt

En kvadratkomplettering av andragradspolynomet visar att

En tillämpning av konjugatregeln ger slutligen följande faktorisering av tredjegradspolynomet i förstagradspolynom:

Denna faktorisering visar att tredjegradspolynomet har tre distinkta reella rötter om ; Det har två distinkta reella rötter om och det har en reell rot och två distinkta komplexa rötter om

Komplexa representationer av reella tal[redigera | redigera wikitext]

Betrakta tredjegrads-ekvationen igen. del Ferros formel ger, med koefficienterna p = -15 och q = 4, resultatet

När man ser ett sådant svar, innehållande kvadratroten ur ett negativt tal, kan man lätt tro att ekvationens lösningar kommer att vara komplexa tal och att man borde ha varit noggrannare. I själva verket är det så att ekvationen

har tre reella lösningar:

Uttrycket

är alltså ett av dessa tre tal. Vilket av dem det är, är mindre intressant; det intressanta är att vi här har ett exempel där uttrycket är involverat i beskrivningen av ett reellt tal.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Se även[redigera | redigera wikitext]