Värmeledningsekvationen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Värmeledningsekvationen, även kallad diffusionsekvationen, är en partiell differentialekvation med ett antal tillämpningar i fysiken.

Värmeledningsekvationen kan skrivas:

där betecknar förändringshastigheten hos funktionen med avseende på tiden, och betecknar laplaceoperatorn.

Värmeledningsekvationen kan användas för att beskriva värmespridning i ett kontinuum[förtydliga]. Funktionen betecknar då temperaturen i mediet och är materialets termiska diffusivitet.

Den endimensionella värmeledningsekvationen[redigera | redigera wikitext]

Det homogena fallet[redigera | redigera wikitext]

Låt funktionen betckna värmen i punkten vid tidpunkten . Vi kan då beskriva med hjälp av värmeledningsekvationen:

En enkel fysikalisk tolkning av värmeledningsekvationen är att den anger temperaturen i en oändligt tunn stav av längd som ligger längs x-axeln. Låt oss även anta staven är perfekt isolerad runt om så att värmen enbart kan flöde horisontellt i staven.


Normal praxis är också att man brukar införa begynnelse- och randvillkor. Begynnelsevillkoret ges då av:


vi låter värmen i stavens ändpunkter och ges av funktionerna och . Vad gäller randvillkoren brukar de vara av typen dirichletvillkor och vi kan beskriva de enligt följande:


men givetvis finns det andra villkor man kan införa t.ex. Neumannvillkor.



Det inhomogena fallet[redigera | redigera wikitext]

Vi studerar nu samma system som ovan men nu skulle vi vilja tillföra värme till staven. Låt funktionen betecknar den tillförda värmen till staven i punkten vid tidpunkten . Funktionen u(x,y) beskrivs då av:


Den n-dimensionella värmeledningsekvationen[redigera | redigera wikitext]

För den n-dimensionella värmeledningsekvationen finns det oberoende variabler nämligen och tiden och en beroende variabel som lyder under ekvationen

Lösningar till värmeledningsekvationen[redigera | redigera wikitext]

För att hitta lösningar måste vi använda oss av variabelseparation. Vi antar att lösningen till är på formen .

Vi deriverar nu fram hur sambandet ser ut

.

Varken höger- eller vänsterledet är beroende av eller därför måste de vara lika med någon konstant :

och

Som vi kan skriva om som:

resp.


Vi kan nu använda envariabelanalys för att få fram lösningarna till differentialekvationerna med dirchletvillkoren . Villkoren kan fysiskt ses som att man håller ändpunkterna till en en stav till


kommer att få tre olika typer av lösningar beroende på värden av :

(1) För d.v.s. ges lösningarna av
:
Randvillkoren ger oss då:

Alltså existerar inga negativa egenvärden.


(2) För ges lösningarna av.

Randvillkoren ger oss då:


Den enda lösningen vi får är och enligt definitionen av en egenfunktion är därför inte ett egenvärde.


(3) För d.v.s. ges lösningarna av:

Randvillkoren ger oss då:

där Z+

Vi har nu de positiva egenvärdena


med de tillhörande egenfunktionerna

Vi har tagit fram att så vad gäller lösningar till ser vi att de ges av

Med detta får vi nu till slut lösningarna

Referenser[redigera | redigera wikitext]

http://staff.www.ltu.se/~larserik/applmath/chap4.pdf
http://www.mai.liu.se/~halun/kurser/TATA51/variabelseparation2010.pdf
http://www.cmi.ac.in/~vipul/studenttalks/theheatequation.pdf
http://www.stanford.edu/class/math220b/handouts/heateqn.pdf

Se även[redigera | redigera wikitext]