Aritmetiskt medelvärde

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Aritmetiskt medelvärde, ofta bara kallat medelvärde, är det genomsnittliga värdet av en uppsättning tal  \{x_1, x_2,\cdots, x_n\} och definieras som

\bar x := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i

Aritmetiskt medelvärde av två tal[redigera | redigera wikitext]

Det aritmetiska medelvärdet av två reella tal, x_1 och x_2, är det reella tal, \bar x, som ligger mitt emellan de två talen:

\bar x = \frac{x_1+x_2}{2}.

Man kan också uppfatta \bar x som en tyngdpunkt på följande sätt: Föreställ dig den reella tallinjen som en tunn bräda och placera ut två vikter på platserna x_1 och x_2; varje vikt väger lika mycket. På platsen \bar x kan vi balansera brädan.

Aritmetiskt medelvärde av fler än två tal[redigera | redigera wikitext]

Ovanstående tolkning av det aritmetiska medelvärdet ger oss en känsla för vad medelvärdet av fler än två reella tal är för något: Det aritmetiska medelvärdet av n stycken reella tal x_1, \cdots, x_n är tyngdpunkten för n stycken lika stora vikter utplacerade på platserna x_1, \cdots, x_n:

\bar x = \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}.

Viktat aritmetiskt medelvärde[redigera | redigera wikitext]

Om man istället för att placera ut lika tunga vikter på de n platserna lägger ut olika vikter, får man ett så kallat viktat aritmetiskt medelvärde:

\bar x_v = \frac{v_1 x_1 + \cdots + v_n x_n}{v_1 + \cdots + v_n};

På plats x_1 placerar vi vikten v_1; på plats x_2 placerar vi vikten v_2, och så vidare. Vi kan utgå ifrån att den sammanlagda vikten är lika med en viktenhet:

v_1 + \cdots + v_n = 1.

Då blir det viktade aritmetiska medelvärdet en så kallad konvex linjärkombination (även kallad konvex kombination) av talen x_1, \cdots, x_n:

\bar x_v = v_1x_1 + \cdots + v_nx_n.

Det aritmetiska medelvärdet är ett exempel på en konvex linjärkombination.

Samband mellan aritmetiskt och geometriskt medelvärde[redigera | redigera wikitext]

Det geometriska medelvärdet av två positiva reella tal, x_1 och x_2, är det reella talet

\tilde x = (x_1 \cdot x_2)^{\frac{1}{2}}

Med hjälp av kvadreringsregeln från algebran går det att visa att det geometriska medelvärdet av två positiva tal aldrig kan vara större än det aritmetiska medelvärdet:

(x_1 \cdot x_2)^{\frac{1}{2}} \leq \frac{x_1+x_2}{2}, \qquad x_1, \, x_2\geq 0.

Härledning av sambandet för två positiva tal[redigera | redigera wikitext]

Tillämpas kvadreringsregeln på uttrycket ((\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2})/\sqrt{2})^2, vilket alltid är positivt, erhålls

0 \leq \left( \frac{ \sqrt{x_1} - \sqrt{x_2} }{ \sqrt{2} } \right)^2 = \frac{x_1 - 2\sqrt{x_1\cdot x_2} + x_2}{2} = \frac{x_1+x_2}{2} - (x_1 \cdot x_2)^{\frac{1}{2}}

Vi ser också att de aritmetiska och geometriska medelvärdena är lika stora om, och endast om, x_1 och x_2 är samma tal.

Utvidgning av sambandet till fler än två positiva tal[redigera | redigera wikitext]

Genom att använda matematisk induktion, går det att visa att olikheten för aritmetiskt och geometriskt medelvärde gäller även för fler än två positiva tal:

(x_1 \cdot \cdots \cdot x_n)^{\frac{1}{n}} \leq \frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}, \qquad x_1, \, \cdots, x_n \geq 0

Logaritmfunktionen visar att det geometriska medelvärdet är ett slags aritmetiskt medelvärde:

\log(x_1 \cdot \cdots \cdot x_n)^{\frac{1}{n}} = \frac{\log x_1 + \cdots + \log x_n}{n}

Olikheten mellan det aritmetiska och det geometriska medelvärdet följer då från olikheten

\log x \leq x, \quad x > 0.

för logaritmfunktionen.

Se även[redigera | redigera wikitext]