Implikation
En implikation är generellt, en benämning på satser av formen "om A så B", som kallas villkorssatser. En implikation kan vara materiell, tautolog, formell eller kontrafaktisk.
- Materiell implikation: p → q är falsk om p är sann och q är falsk och sann i övriga fall.
- Tautolog implikation: F → G är sann för alla värden på de i formlerna F och G ingående variablerna.
- Formell implikation eller vardagsspråklig implikation: A → B, där ett visst kausalt eller formellt, ej väldefinierat, samband måste föreligga mellan försats och eftersats för att implikationen skall betraktas som meningsfull och sann.
- Kontrafaktisk implikation: En sats av typen "om A vore - vilket A inte är - så vore B" eller "om A inte vore - vilket A är - så vore B".
|
|---|
| Logisk operator (Logisk grind) |
|
| Se även |
Notation
Inom logiken betecknas implikation med →. För att inte förväxla denna pil med gränsvärdespilen använder man istället, inom matematiken, oftast den dubbelstreckade pilen ⇒. På motsvarande sätt används dubbelpilen för ekvivalens.
Negering av Implikation
I det naturliga språket finns ett flertal skilda betydelser av "om A så B": En av dessa är ett uttalande om B, givet att A är uppfyllt. En annan är ett uttalande om att det råder ett villkorsförhållande mellan A och B, det vill säga att det är sant att: "om A så B". Nedan följer ett försök till förklaring av skillnaden mellan dessas betydelser, genom att de två satserna på olika sätt negeras.
- "Det är inte så att: om Kalle kommer till festen så kommer även Lisa" = "Det är så att: om Kalle kommer till festen så kommer inte Lisa". Detta är ett uttalande om huruvida Lisa kommer eller inte, givet att Kalle kommer.
- "Det är inte sant att: om Kalle kommer till festen så kommer även Lisa" = "Det är falskt att: om Kalle kommer till festen så kommer även Lisa". Detta är ett uttalande om huruvida implikationen är sann eller inte.
Materiell implikation
Materiell implikation betecknas vanligen med → eller ⊃. Den definieras i satslogiken som en funktion av de ingående påståendenas sanningsvärden. Satsen p → q är falsk endast om p är sann och q är falsk. p → q kan skrivas som ¬p ∨ q (klausul) och har följande sanningstabell, där s står för sann och f för falsk.: :
| p | q | p → q | ¬p ∨ q |
| s | s | s | s |
| s | f | f | f |
| f | s | s | s |
| f | f | s | s |
Att en sats materiellt implicerar en annan, betyder endast att det icke är så, att den första satsen är sann och den andra falsk.
Vissa egenskaper hos den materiella implikationen ger upphov till paradoxala resultat. Dessa sammanfattas under benämningen implikationsparadoxer.
Materiell implikation i Boolesk algebra
I Boolesk algebra, där 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 1, 0´=1 och 1´= 0, uttrycks materiell implikation, p→q, som p´+ q.
| p | q | p → q | p´+ q |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
Boolesk algebra är isomorf med satslogik.
Implikation i första ordningens logik
I första ordningens logik (FOL) spelar implikationer en viktig roll, bl.a. vid formalisering av kvantifierade påståenden och syllogistiska slutledningar. Kvantifierade påståenden kan skrivas om och formaliseras till implikationer. Ex:
- "Alla hästar har fyra ben." kan skrivas "För alla x gäller: om x är en häst så har x fyra ben." formaliserat ∀x(Hx → Bx), där ∀ betyder "alla".
- "De flesta däggdjur är inte människor." kan skrivas "För de flesta x gäller: om x är ett däggdjur så är x inte en människa." formaliserat (most x)(Dx → ¬Mx). Eftersom "De flesta däggdjur är inte människor" inte betyder detsamma som "De flesta människor är inte däggdjur", så gäller inte kontraposition här, dvs (A → ¬B) = (B → ¬A), så materiell implikation kan ej användas för formalisering i detta fall.
Stark implikation
"Det är nödvändigt att om p så q" uttrycker en starkare implikation (mer specifik mening) än materiell och tillhör den modala logiken. Stark implikation betecknas med -3 (fishhook) och påståendet p -3 q eller med tillägget L (nödvändigt sann) till implikationen:
L(p → q) = (p -3 q)
Kausalitet
Implikationer kan även uttrycka kausalitet – orsak och verkan. Denna tillämpning tillhör den temporala logiken och är starkare påståenden än materiell.
Tekniska lösningar
I elektriska kretsar, pneumatik, hydraulik, mekanik etc kan funktioner som motsvarar implikationer realiseras.
Brytarnät
Grindnät
Funktionen hos materiell implikation kan realiseras med en OR-grind med en inverterad ingång (H = hög nivå, L = låg nivå):
|
|
Se även
Källor
- Geoffrey Hunter, Metalogic An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan London 1971.