Korda

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Korda är den räta linje som sammanbinder två punkter på en cirkelbåge eller annan kroklinje.[1] Det är antingen själva den geometriska mängden eller längden av denna. Historiskt användes också korda som en trigonometrisk funktion, nämligen längden av den korda som i en cirkel med fix radie motsvarar en medelpunktsvinkel. Uttryckt i moderna termer är denna korda av vinkeln v detsamma som 2r sin (v/2), där r är cirkelns radie.

Kordasatsen[redigera | redigera wikitext]

Med hjälp av bland annat teorin för likformiga trianglar kunde man i den hellenistiska antika matematiken bevisa olika samband som involverar kordor. Bland dessa finns kordasatsen, enligt vilken två kordor i samma cirkel skär varandra, så är produkten av längderna av de två segmenten i den ena kordan lika stor som motsvarande produkt i den andra.

Kordan som trigonometrisk funktion[redigera | redigera wikitext]

Definition av funktionen crd

Kordafunktionen kan spåras redan på kilskriftstavlor från Mesopotamien. Under 100-talet gjorde astronomen och matematikern Klaudios Ptolemaios från Alexandria upp en noggrann kordatabell, som ingick i hans huvudverk Almagest. Ptolemaios anger kordorna för alla halva och hela vinklar upp till ett halvt varv i en cirkel med radien 60 längdenheter. Sambandet med de moderna trigonometriska funktionerna är:

 \mbox{crd}\ \theta = \sqrt{(1-\cos \theta)^2+\sin^2 \theta} =

=\sqrt{2-2\cos \theta} = 2 \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} = 2 \sin \frac{\theta}{2}

Ett specialfall är en rätvinklig triangel\theta=\frac{\pi}{2}\Rightarrow\mbox{crd}\ \theta=\sqrt{2}.

Identiteter[redigera | redigera wikitext]

Kordafunktionen har många identiteter som är analoga med sinusfunktionen:

Identitet Uttryckt med sinus Uttryckt med korda
Trigonometriska ettan \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \mbox{crd}^2 \theta + \mbox{crd}^2 (180^{\circ} - \theta) = 4
Halva vinkeln \sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos \theta}{2}} \mbox{crd}\ \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{2-\mbox{crd}(180^{\circ} - \theta)}

Källor[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Norstedts uppslagsbok 1948

Se även[redigera | redigera wikitext]

Wiktionary small.svg
Svenskspråkiga Wiktionary har ett uppslag om korda.