Magma (matematik)

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
För andra betydelser av "magma" se Magma.

Inom abstrakt algebra, är en magma eller gruppoid en speciellt enkel sorts algebraisk struktur. En magma består av en mängd med en ensam binär operator på mängden, vilken oftast (men inte alltid) tolkas och betecknas som någon form av multiplikation.

Inga axiom för operatorn krävs för att definiera en magma. Detta gör att exempelvis (a·a)·a inte behöver vara detsamma som a·(a·a), där a är ett element i magman och·(a dess operation betecknas med · . På liknande sätt kan samtliga de fem elementen

a·(a·(a·a)), a·((a·a)·a), (a·a)·(a·a), (a·(a·a))·a och ((a·a)·a)·a

vara olika. I den fria magman på ett element a bestäms antalet element uppbyggt med ett givet antal "multiplikationer" helt av antalet korrekta sätt att parvis gruppera underuttryck genom att sätta in ett givet antal matchande parentespar i ett uttryck. Detta ger

1, 1, 2, 5, 14, 42,...

olika element; se Catalantal.

Gruppliknande strukturer[redigera | redigera wikitext]

Gruppliknande strukturer
Totalitet Associativitet Identitet Inverser Kommutativitet
Magma Ja Nej Nej Nej Nej
Semigrupp Ja Ja Nej Nej Nej
Monoid Ja Ja Ja Nej Nej
Grupp Ja Ja Ja Ja Nej
Abelsk grupp Ja Ja Ja Ja Ja
Loop Ja Nej Ja Ja Nej
Kvasigrupp Ja Nej Nej Nej Nej
Gruppoid Nej Ja Ja Ja Nej
Kategori Nej Ja Ja Nej Nej
Semikategori Nej Ja Nej Nej Nej

Oftast studeras dock inte magmor som sådana; istället finns det flera olika typer av magmor, beroende på vilka axiom man kräver skall gälla för operatorn. Vanligen studerade magmor innefattar:

Termen "magma" introducerades av Bourbaki. Tidigare användes termen "gruppoid" allmänt, och den används ibland ännu. Termen gruppoid används dock också om ett helt annat begrepp.

Från magma till grupp genom införandet av restriktioner via två olika vägar.

Se även[redigera | redigera wikitext]