Axiom

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett axiom (av grekiska "axioma", latin "axiorna" och franska "axiome") är en grundsats i ett deduktivt system. Axiom är satser, som inte är försedda med någon verifiering och som, i systemet ej heller kan verifieras eller bestyrkas. Axiom är konkret de satser, vilka man kommit överens om att använda som grund. I praktiskt taget alla system, är frågan om att axiomen skulle vara självklara sanningar irrelevant eftersom detta begrepp inte entydigt kan definieras.[1]

Ett system, vars fundament är ett antal axiom, kallas för ett axiomsystem och i ett sådant benämns de satser, som kan härledas med hjälp av axiomen, för teorem. Alla satser som inte är axiom är således teorem. I formella system är axiomen definierade utan hänvisning till någon tolkning. Exempel på axiomatiskt uppbyggda system är geometrien i Euklides Elementa, Peanos axiomsystem och satslogikens formella system.[2]

Etymologi[redigera | redigera wikitext]

Ordet "axiom" kommer från det grekiska ordet ἀξίωμα (axioma), ett verbalsubstantiv från verbet ἀξιόειν (axioein), vilket betyder att anse värdig, men också att behöva, kräva, som i sin tur kommer från ἄξιος, vilket betyder att "vara i balans", och därigenom "ha samma värde (som)", "värdig", "proper". Bland de antika grekiska filosoferna var ett axiom ett påstående som kunde ses som uppenbart och otvivelaktigt och som därmed inte krävde något bevis. Grundbetydelsen av ordet postulera är att begära. Exempelvis begär Euklides av oss, att vi instämmer i att vissa saker kan göras, exempelvis att vilka två punkter som helst kan sammanfogas med en rät linje, och så vidare.[3]

Antika geometriker skilde på axiom och postulat. Medan Proklos kommenterade Euklides bok anmärkte han att "Geminus vidhöll att hans fjärde postulat inte borde klassificeras som ett postulat utan som ett axiom, då det inte, som de första tre postulaten, uttrycker möjligheten av viss konstruktion, men uttrycker en nödvändig egenskap".[4] Boethius översatte postulat till petitio och kallade axiomen för notiones communes men det användandet var inte lika tydligt i senare manuskript.

Axiomsystem[redigera | redigera wikitext]

Ett system kallas axiomatiskt om det baserar sig på axiom – det vill säga ett system, där alla satser, som inte är axiom det vill säga teorem, går att härleda från axiomen. En mängd av axiom kallas för ett axiomsystem eller en axiomuppsättning. I logiken kallas detta ofta för en teori, men där kan även "teori" syfta på hela mängden av teorem, som följer av axiomsystemet. Ett känt axiomsystem är Euklides antika geometri, som presenteras i boken Elementa. Detta system innehåller fem axiom, varav det femte är det kända och kontroversiella parallellaxiomet. Euklides teorem kan alla härledas från axiomen[5].

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Ett grundläggande axiom är att noll är ett naturligt tal. Ytterligare ett grundläggande axiom är att varje tal följs av detta tal + 1, vilket skulle kunna uttryckas som att "n" följs av "n+1", vilket i sin tur bevisar att det finns hur många naturliga tal som helst.[5]

Berömda axiom[redigera | redigera wikitext]

Berömda axiomsystem[redigera | redigera wikitext]

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • G. Hunter, Metalogic, McMillan 1967.
Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia
  1. ^ G. Hunter, Metalogic, McMillan, 1967.
  2. ^ H. Kahane, Logic and Philosophy, Wadsworth 1963.
  3. ^ Wolff, P. Breakthroughs in Mathematics, 1963, New York: New American Library, ss 47–48
  4. ^ "Geminus held that this [4th] Postulate should not be classed as a postulate but as an axiom, since it does not, like the first three Postulates, assert the possibility of some construction but expresses an essential property" Heath, T. 1956. The Thirteen Books of Euclid's Elements. New York: Dover. s200
  5. ^ [a b] Ellenberger, Bengt; Hasselqvist, Per Johan; Lång, Öjevind; Nyqvist, Per; Tunek, Viveka (2009). Hammarström, Stina. red. Allt du behöver veta för att överleva i det 21:a århundradet. Italien: Prisma. sid. 199. ISBN 978-91-518-5098-6 

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]