Perron–Frobenius sats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Perron–Frobenius sats en sats om icke-negativa och positiva matriser, uppkallad efter matematikerna Oskar Perron och Ferdinand Georg Frobenius.

För positiva matriser[redigera | redigera wikitext]

Låt A vara en positiv kvadratisk matris. Då gäller:

För icke-negativa matriser[redigera | redigera wikitext]

Låt A vara en icke-negativ kvadratisk matris. Då gäller:

  • Det finns ett positivt egenvärde  \lambda till A som har en tillhörande icke-negativ egenvektor v.
  •  \lambda är till beloppet större än eller lika med alla andra egenvärden till A.
  • Alla andra positiva egenvektorer till A är en multipel av v.
  •  \lambda har algebraisk multiplicitet 1.

Om A är en irreducibel matris så gäller att v inte bara är icke-negativ, utan positiv.

Bevisskiss[redigera | redigera wikitext]

Bevisskiss att satsen gäller i  \mathbb{R}^3 .

Givet är en icke-negativ 3x3-matris  A . Vi tar en icke-negativ vektor  v . Det inses lätt att avbildningen  Av då också är icke-negativ, dvs avbildar den första oktanten på sig själv. Vi definierar funktionen:

 f(x) = \frac{Ax}{\|Ax\|}

Värdemängden till  f(x) är då enbart enhetsvektorer, och vi ser att  f(x) avbildar mängden av alla enhetsvektorer i första oktanten på sig själv, dvs mängden  K = \{x \in R^3: x \geq 0, \|x\| = 1 \}, med andra ord den del av enhetssfären som ligger i första oktanten. Denna mängd är homeomorf med en skiva i planet. Vi kan då använda Brouwers fixpunktssats, som säger att det finns ett  u så att  f(u) = u , vilket ger att:

 \frac{Au}{\|Au\|} = u \Rightarrow Au = \|Au\|u

Dvs,  u som ligger i första oktanten (och därför är icke-negativ) är en egenvektor, och har egenvärdet  \|Au\| \geq 0 (eftersom  \forall{x}: \|x\| \geq 0 ). Alltså har  A en positiv egenvektor med tillhörande positivt egenvärde.