Rumtid

Rumtid är en matematisk modell som kombinerar rum och tid till ett enda sammanvävt kontinuum. Rumtiden av vårt universum tolkas normalt utifrån ett euklidiskt rum, med tre rumsdimensioner, och en dimension som utgör tiden, ”fjärde dimensionen”. Genom att kombinera tid och rum i en enda mångfald känd som Minkowskirum, har fysiker kraftigt förenklat ett stort antal fysikaliska teorier. En punkt i den fyrdimensionella rumtiden kallas för en händelse.

Rumtiden introducerades av den tyske matematikern Hermann Minkowski (1908) som ett sätt att ge en geometrisk beskrivning av de förändringar av tid och rum som Albert Einstein formulerade i sin speciella relativitetsteori (1905). Relativistiska fenomen som längdkontraktion och tidsdilatation kan beskrivas som att koordinatsystemen som beskriver olika observatörers uppfattning om omvärlden (deras referenssystem) är roterade i förhållande till varandra i rumtiden. Detta kräver dock en lite mer komplicerad representation av rumtiden än att bara lägga till tiden som en fjärde dimension – nämligen det tidigare nämnda Minkowskirummet.

Med den allmänna relativitetsteorin utökades rumtidsbegreppet, så att den fyrdimensionella rumtiden kan ses som en ”yta” i ett rum med fler dimensioner. Under frånvaro av massiva objekt och accelererande rörelse är denna ”yta” plan och rätlinjig, men under påverkan av gravitationskrafter, eller vid accelererande rörelse, buktar denna yta i den nya dimensionens riktning och de tidigare räta koordinatlinjerna blir böjda geodetiska linjer i en krökt rumtid. En sådan extra dimension är egentligen bara ett sätt att åskådliggöra krökningen av rumtiden. Rent matematiskt brukar den allmänna relativitetsteorin beskriva rumtiden som ett fyrdimensionellt rum med icke-euklidiska egenskaper. Inom slingkvantgravitation kallar man samma begrepp för rumtidsväv.

Visualisering av rumtiden i den speciella relativitetsteorin

Rumtid med ljuskoner

Eftersom det är svårt att tänka sig ett fyrdimensionellt rum avlägsnas ofta för enkelhets skull en av rumsdimensionerna och därmed visualiseras rumtiden enbart med 2 rumsdimensioner. Skalan på rumsdimensionerna sätts typiskt också ut sådant att ljushastigheten c = 1. Därigenom får exempelvis ett år på tidsaxeln samma längd som ett ljusår på rumsaxlarna.

Händelser

En händelse på platsen med rumskoordinaterna x och y vid tidpunkten t representeras då av en punkt $(x,y,t)$ i ett tredimensionellt koordinatsystem som i bilden till höger. Ett objekt (för enkelhets skull representerat som en enda punkt) som rör sig med konstant hastighet genom rummet kan beskrivas som en rät linje genom rumtiden. Linjens lutning är ett mått på hastigheten – ett objekt i vila representeras av en lodrät linje, och ju fortare objektet rör sig desto mer lutar linjen. Andra typer av rörelser ger andra typer av kurvor. En sådan kurva, som på detta sätt visar objektets position vid alla tidpunkter, kallas för dess världslinje. Punkten A med koordinaterna $(x_{A},0,t_{A})$ i bilden till höger visar en sådan händelse och dess världslinje.

Nu

Origo representerar händelsen här och nu. Ljusstrålar som anländer eller utgår från denna händelsepunkt bildar två koner med spetsarna i origo. Med den vedertagna skalan bildar dessa ljuskoner en 45°-vinkel mot axlarna. Punkterna på ljuskonerna representerar fotoner som nu anländer hit och sedan avlägsnar sig igen. Dessa fotoners världslinjer utgör räta linjer som går genom origo och ligger utefter ytan på konerna. Sådana världslinjer brukar därför kallas ljusliknande, och punkterna på dem representerar nuet på så sätt, att när stjärnhimlen observeras just nu är det den delen av rumtiden som observeras.

Framtid och dåtid

Eftersom inget objekt enligt relativitetsteorin kan överskrida ljusets hastighet, måste världslinjen för ett objekt som befinner sig här och nu ligga innanför dessa koner. Punkter innanför den övre konen representerar objektets tänkbara framtid, och de innanför den undre konen dess möjliga förflutna. Sådana kurvor som ligger innanför dessa koner, och alltså representerar världslinjer för objekt som rör sig med lägre hastighet än ljuset, kallas för tidsliknande kurvor.

Annorstädes

Punkter som befinner sig utanför konerna representerar händelser som inte är en del av observatörens förflutna eller framtid, och som därför inte är tillgängliga för eller kan påverka denna. Information om dessa händelser når dock observatören så småningom, när ljuskoner som utgår från dem slutligen överlappar den egna ljuskonen. Kurvor som förbinder origo med sådan händelser kan inte utgöra verkliga världslinjer. De representerar snarare i vissa fall rumsdimensioner och kallas för rumsliknande.

Parallella verkligheter

Förutom att enbart tänka sig händelser som ligger inom respektive utanför en kon kan man tänka sig en mängd parallella koner där världslinjerna skiljer sig från varandra. Mängden händelser eller samlingen av utfall ses då som oändlig, men utfallsrummen är isolerade från varandra.

Rumtid och Lorentztransformation

Rumtid med ljuskoner som förvrängts på grund av Lorentztransformationen

Rumtiden åskådliggjord på ovanstående sätt är inte lika för alla utan beror på personen och dennas rörelse. Enligt den speciella relativitetsteorin förändras tid och rum enligt Lorentztransformationens formler och ger upphov till tidsdilatation och längdkontraktion. Bilden till höger visar hur rumtiden förändras för en person som färdas med 30 % av ljusets hastighet i x-axelns riktning i förhållande till en annan person, sett ur den senares synvinkel. Planen som anger en viss tidpunkt för personen i rörelse (visade via cirklarna i ljuskonerna) lutar i förhållande till tidsplanen för personen i vila, och den förras x-axel och tidsaxel är vridna mot varandra jämfört med den stillastående personens axlar. Dessutom är skalan på dessa axlar förändrad (vilket inte syns på bilden) så att tidsaxeln är utdragen och x-dimensionen är ihoptryckt i förhållande till den stillastående personen.

Sammanfattningsvis ger det hittills visade sättet att visa rumtiden, som ett enkelt euklidiskt rum med tiden som en extra dimension, ingen riktigt tillfredsställande bild av hur rumtiden egentligen beter sig. Istället brukar en mer abstrakt typ av matematiskt rum – Minkowskirum – användas.

Avstånd i rumtiden – rumtidsintervall

I ett traditionellt tredimensionellt euklidiskt rum definieras avståndet s mellan två punkter A = $(x_{A},y_{A},z_{A})$ och B = $(x_{B},y_{B},z_{B})$ som:

$s={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}+(z_{A}-z_{B})^{2}}}$ eller uttryckt på ett annat sätt $ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}$

I ett fyrdimensionellt Minkowskirum definieras istället för avståndet mellan två punkter i rummet rumtidsintervallet ds mellan två händelser i rumtiden som $ds^{2}=dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$. Minustecknen i de sista termerna medför att värdet kan bli både positivt och negativt. Ett annat, ålderdomligt sätt att uttrycka detta är att istället för att använda tiden t som den fjärde dimensionen använda det imaginära uttrycket it som enhet. Eftersom i² = −1 får alla termerna samma signum.

Några egenskaper för rumtidsintervall:

• Händelser mellan vilka intervallet är positivt, ligger i varandras framtid eller förflutna (innanför ljuskonerna). Ett sådant intervall kallas för tidsliknande.
• Intervallets storlek är invariant och oberoende av vem som mäter det och ett mått på den reella tidsdifferensen, som uppmäts av en observatör som ”färdas” mellan händelserna.
• Händelser som ligger på ytan av ljuskonerna har ett intervall som är lika med noll. För en foton som rör sig med ljusets hastighet från en viss händelsepunkt står tiden helt stilla, och i viss bemärkelse kan den sägas ”inte komma någonstans” och alltid befinna sig på nollavstånd från utgångspunkten. Ett sådant intervall kallas för ljusliknande.
• Händelser som befinner sig annorstädes, utanför ljuskonerna, har ett negativt rumtidsintervall till utgångspunkten, vilket inte riktigt kan åskådliggöras i ett koordinatdiagram av ovanstående typ. Ett sådant intervall kallas rumsliknande.

Transformation av referensramar i ett Minkowskirum

Rumtid i ett Minkowskirum – Lorentztransformationen åskådliggjord som en rotation av observatörernas koordinatsystem

Genom att använda ett Minkowskirum istället för ett vanligt euklidiskt rum blir effekterna av Lorentztransformationen betydligt enklare att åskådliggöra. Istället för den förvrängning som syntes i förra bilden, kommer nu koordinatsystemet för en person i rörelse, att rotera i förhållande till en stillastående persons koordinatsystem. Ju större hastighet desto större rotation. Det syns tydligt hur det som ena personen uppfattar som ren tid respektive ren rumsdimension, för den andra personen blir en blandning av rum och tid. Vinkeln θ för denna rotation ges av formeln:

$\sin \theta =v$