Allmänna relativitetsteorin

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Tvådimensionell visualisering av rumtid-störningen från en massiv kropp. Materiens närvaro förändrar rumtidens geometri.
Simulering av ett svart hål med Stora Magellanska molnet som bakgrund. Den gravitationella linsverkan orsakar två förstorade och starkt förvrängda bilder av molnet. I den övre delen bilden ses Vintergatan förvrängd till en båge

Den allmänna relativitetsteorin är en teori om gravitation som publicerades av Albert Einstein år 1916.[1] Den förenar den speciella relativitetsteorin och Isaac Newtons universella gravitation genom idén att gravitationen inte är en kraft i klassisk fysikalisk mening, utan är en manifestation av rumtidens geometri. Rumtiden är inte plan, utan krökt, och krökningen påverkar hur kroppar färdas genom rumtiden. Denna krökning bestäms av energins och materiens fördelning i rummet.

Inledning[redigera | redigera wikitext]

Några av den allmänna relativitetsteorins förutsägelser skiljer sig markant från den klassiska fysikens, särskilt om tidens förlopp, rymdens geometri, kroppars rörelse i fritt fall och ljusets spridning. Exempel på sådana skillnader inkluderar gravitationell tidsdilatation, gravitationell linsverkan, den gravitationella rödförskjutningen av ljus och den gravitationella tidsfördröjningen. Den allmänna relativitetsteorins förutsägelser har bekräftats av alla hitintills gjorda observationer och experiment.

Även om den allmänna relativitetsteorin inte är den enda relativistiska teorin om gravitation, är det den enklaste teorin som är förenlig med experimentella data. Men obesvarade frågor återstår, den mest grundläggande är hur den allmänna relativitetsteorin kan förenas med kvantfysikens lagar för att åstadkomma en komplett och konsistent teori om kvantgravitation.

Einsteins teori har viktiga astrofysikaliska implikationer. Den implicerar till exempel förekomsten av begreppet svarta hål - regioner i rymden där tid och rum förvrängs på ett sådant sätt att ingenting, inte ens ljuset, kan lämna regionen - som ett sluttillstånd för massiva stjärnor. Det finns gott om belägg för att den intensiva strålningen från vissa typer av astronomiska objekt, till exempel mikrokvasarer och aktiva galaxkärnor, beror på närvaron av stjärnornas svarta hål respektive svarta hål av ett mycket mer omfattande slag.

Böjning av ljus genom gravitation kan leda till fenomenet gravitationell linsverkan, där flera bilder av samma avlägsna astronomiska objekt är synliga på himlen. Allmänna relativitetsteorin förutsäger också existensen av gravitationsvågor, som sedan har observerats indirekt. En direkt mätning är syftet med projekt såsom LIGO och NASA/ESA laserinterferometer Space Antenna. Dessutom är den allmänna relativitetsteorin grunden för dagens kosmologiska modeller av ett expanderande universum.

Historik[redigera | redigera wikitext]

Albert Einstein 1904, 25 år gammal

Strax efter att ha offentliggjort den speciella relativitetsteorin 1905 började Einstein tänka på möjligheten att införliva tyngdkraften i sin nya relativistiska ram. År 1907, med början i ett enkelt tankeexperiment med en observatör i fritt fall, inledde han ett åttaårigt sökande efter en relativistisk teori som innefattade gravitationen. Efter många omvägar och falska starter, kulminerade hans arbete i presentationen vid den preussiska vetenskapsakademin i november 1915 av det som idag kallas Einsteins fältekvationer. Dessa ekvationer anger hur geometri och tid påverkas av materia och utgör kärnan i Einsteins allmänna relativitetsteori.[2]

Einsteins fältekvationer är icke-linjära och mycket svåra att lösa. Einstein använde approximationsmetoder vid utarbetandet av de första förutsägelserna av teorin. Men så tidigt som 1916, fann astrofysikern Karl Schwarzschild den första icke-triviala exakta lösningen av Einsteins fältekvationer, den så kallade Schwarzschildmetriken. Denna lösning lade grunden för beskrivning av slutskedet av en gravitationell kollaps och objekten som idag kallas svarta hål. Under samma år var de första stegen mot att generalisera Schwarzschilds lösning på elektriskt laddade föremål tagna och resulterade så småningom i Reissner-Nordströms lösning, nu i samband med elektriskt laddade svarta hål.[3] 1917 utvidgade Einstein sin teori till universum som helhet och inledde forskningsområdet relativistisk kosmologi. I linje med modernt tänkande, antog han en statisk värld, lade till en ny parameter till sin ursprungliga fältekvation, den kosmologiska konstanten, för att reproducera denna "iakttagelse".[4] Under 1929 hade dock Hubble och andra visat att vårt universum expanderar. Detta kan lätt beskrivas med de expanderande kosmologiska lösningar som hittades av Friedmann 1922, vilka inte kräver en kosmologisk konstant. Lemaître använde dessa lösningar för att formulera den tidigaste versionen av Big-Bang-modeller där vårt universum har utvecklats från ett extremt varmt och tätt tillstånd.[5] Einstein förklarade senare att den kosmologiska konstanten var hans största misstag i sitt liv.[6]

Under denna period förblev allmänna relativitetsteorin något av en egendomlighet bland fysikaliska teorier. Den var klart bättre än den newtonska gravitationen, var förenlig med speciell relativitetsteori och gav en förklaring av flera effekter som var oförklarade enligt Newtons teori. Einstein själv hade 1915 visat hur hans teori förklarade avvikande perihelium för planeten Merkurius utan godtyckliga parametrar ("fudgefaktorer").[7] På samma sätt bekräftade (se dock Experimentellt stöd nedan) en expedition 1919 ledd av Arthur Eddington allmänna relativitetsteorins prognos för böjning av stjärnljus av solen under total solförmörkelse 29 maj 1919[8] och gör Einstein allmänt känd.[9] Men teorin kom in i huvudfåran av teoretisk fysik och astrofysik endast i och med utvecklingen mellan cirka 1960 och 1975, numera känd som den gyllene åldern för den allmänna relativitetsteorin.[10] Fysiker började förstå begreppet svart hål och identifierade kvasarer som ett slag av dessa objekt.[11] Allt mer exakta tester av solsystemet bekräftade teorins prognosförmåga och relativistisk kosmologi blev också föremål för observationella tester.

Konsekvenser av Einsteins teori[redigera | redigera wikitext]

Allmänna relativitetsteorin har ett antal fysikaliska konsekvenser. Vissa följer direkt från teorins axiom, medan andra uppkommit först under de nittio år av forskning som följde Einsteins första offentliggörande.

Gravitationell tidsdilatation och frekvensskift[redigera | redigera wikitext]

Schematisk representation av gravitationella rödförskjutningen av en ljusvåg från ytan av en massiv kropp

Förutsatt att ekvivalensprincipen gäller,[12] så påverkar gravitationen tidsförloppet. Ljus som skickas mot en gravitationskälla förskjuts mot högre frekvenser (blåförskjutning) och ljus som skickas i den motsatta riktningen förskjuts mot lägre frekvenser (rödförskjutning). Dessa effekter kallas gravitationell frekvensförskjutning. Einstein härledde dessa effekter från ekvivalensprincipen så tidigt som 1907.[13]

Mera allmänt, processer nära en massiv kropp förlöper långsammare jämfört med processer som äger rum längre bort och denna effekt kallas tidsdilatation.

Rödförskjutning orsakad av gravitation har mätts i laboratoriet[14] och med hjälp av astronomiska observationer.[15] Gravitationens tidsdilatation i jordens gravitationsfält har mätts flera gånger med atomur,[16] till exempel genom Hafele-Keating experimentet. Pågående validering fås som en bieffekt av driften av GPS-systemet.[17] Tester i starkare gravitationsfält sker genom observationer av binära pulsarer.[18] Alla resultat överensstämmer med allmän relativitetsteori[19] men på den nuvarande nivån av noggrannhet, kan dessa observationer inte skilja mellan allmän relativitetsteori och andra teorier i vilka ekvivalensprincipen gäller.[20]

Ljusets böjning och gravitationell tidsfördröjning[redigera | redigera wikitext]

Böjning av ljus (skickas ut från den plats som visas i blått) nära en kompakt kropp (visas i grått)

Allmänna relativitetsteorin förutsäger att ljusets bana böjs i ett gravitationsfält; ljus som passerar en massiv kropp böjs i riktning mot kroppen. Denna effekt har bekräftats genom att observera att ljuset av stjärnor eller avlägsna kvasarer böjs när de passerar nära solen.

Dessa och relaterade förutsägelser följer av det faktum att ljuset följer vad som kallas null-geodetiska banor - en generalisering av de räta linjer längs vilka ljuset färdas enligt klassisk fysik. Sådana geodesier är en generalisering av ljushastighetens invarians i den speciella relativitetsteorin.

Nära besläktat med ljusböjning är gravitationell tidsfördröjning (eller Shapirofördröjning), nämligen fenomenet att ljussignaler tar längre tid att gå genom ett gravitationsfält än de skulle i frånvaro av detta fält. Det har funnits många framgångsrika tester av denna förutsägelse. För solens gravitationsfält används radarsignaler som reflekteras från planeterna Venus och Merkurius.

Gravitationsvågor[redigera | redigera wikitext]

Ring av testpartiklar påverkas av en gravitationell våg

En av flera analogier mellan svagfältsgravitation och elektromagnetism är att det, i analogi med elektromagnetiska vågor, förekommer gravitationsvågor: krusningar i rumtidens metrik som propagerar med ljusets hastighet.[21] Den enklaste typen av en sådan våg kan visualiseras genom sin verkan på en ring av fritt svävande partiklar. En sinusvåg fortplantar sig genom en sådan ring i riktning mot läsaren och snedvrider ringen på ett karaktäristiskt, rytmiskt sätt (animerad bild till höger). Sådana vågor har indirekt observeras genom förlusten av energi i binära pulsarsystem såsom Hulse-Taylor-binären. Ett antal projekt pågår för att försöka att direkt observera effekterna av gravitationsvågor.[22][23]

Då Einsteins ekvationer är icke-linjära, kommer godtyckligt starka gravitationsvågor inte att uppfylla kraven för superpositionsprincipen, vilket gör deras beskrivning besvärlig. Men för svaga fält, kan en linjär approximation göras. Sådana linjäriserade gravitationsvågor är tillräckligt noggranna för att beskriva de ytterst svaga vågor som förväntas anlända här på jorden från fjärran kosmiska händelser, vilka normalt resulterar i att relativa avstånd ökar och minskar med 10-21 eller mindre. Dataanalysmetoder gör rutinmässigt bruk av det faktum att dessa linjäriserade vågor kan vara Fourieruppdelade.

Några lösningar beskriver gravitationsvågor utan approximation, till exempel ett vågpaket som färdas genom tomrum.[24] Men för gravitationsvågor som produceras i astrofysikaliskt relevanta situationer, till exempel sammanslagningen av två svarta håll, är numeriska metoder för närvarande det enda sättet att konstruera lämpliga modeller.[25][26]

Orbitala effekter och riktningens relativitet[redigera | redigera wikitext]

Allmänna relativitetsteorin skiljer sig från den klassiska mekaniken i ett antal förutsägelser om kretsande kroppar. Den förutspår en total rotation (precession) av planetbanor samt förändringar av banor som orsakas av gravitationsvågor och effekter relaterade till riktningens relativitet.

Precession av apsis[redigera | redigera wikitext]

Newtonska (röd) och Einsteinska banor (blå) för en ensam planet som kretsar kring en stjärna

Inom allmän relativitetsteori, kommer apsiserna (apsis, den punkt i den kretsande kroppens bana som är närmast systemets masscentrum) att precessera för en bana – banan är inte en ellips, men liknar en ellips vars längdriktning roterar, vilket resulterar i en rosliknande form (se bild). Einstein härledde först detta resultat genom att använda ett ungefärlig mått som representerar den newtonska gränsen och behandlade den kretsande kroppen som en testpartikel. Att hans teori gav en enkel förklaring till precessionen hos planeten Merkurius perihelium, vilken tidigare upptäckts av Urbain Le Verrier 1859, var för honom ett viktigt bevis för att han äntligen hade identifierat fältekvationernas korrekta form.[27]

Effekten kan också härledas genom att använda den exakta Schwarzschildmetriken (beskriver rumtiden kring en sfärisk massa)[28] eller den långt mer generella moderna formalismen.[29]

Precessionen beror på gravitationens påverkan på rymdens geometri och bidrag till en kropps egenenergi (olinjärt kodade i Einsteins ekvationer).[30] Relativistisk precession har observerats för alla planeter för vilka noggranna mätningar av precessionen är möjliga. Relativistisk precession har observerats för alla planeter som tillåter noggranna mätningar (Merkurius, Venus och Jorden)[31] och även för binära pulsarer för vilka precessionen är fem storleksordningar större.[32]

Orbitala störningar[redigera | redigera wikitext]

Orbitala störningar för PSR1913+16:. Tidsförskjutning i sekunder, spårad över tre decennier

Enligt allmänna relativitetsteorin, avger ett binärt system gravitationsvågor och förlorar därmed energi. På grund av denna förlust, minskar avståndet mellan de två kretsande kropparna och därmed deras omloppstid. Inom solsystemet eller för dubbelstjärnor, är effekten för liten för att kunna observeras. Detta är inte fallet för en binär pulsar med litet avstånd mellan komponenterna, ett system med två kretsande neutronstjärnor, varav en är en pulsar. Från pulsaren får observatörer på jorden en regelbunden serie av radiopulser som kan fungera som en mycket exakt klocka och som möjliggör noggranna mätningar av omloppsperioden. Eftersom neutronstjärnor är mycket kompakta, är det stora mängder energi som avges i form av gravitationsstrålning.[33]

Den första observationen av en minskning av omloppstiden på grund av gravitationsvågor gjordes av Russell Alan Hulse och Joseph Hooton Taylor Jr, med hjälp av den binära pulsaren PSR1913+16 som de upptäckt 1974. Detta var den första upptäckten av gravitationsvågor, om än indirekt, för vilken de tilldelades 1993 års nobelpris i fysik.[34] Sedan dess har flera andra binära pulsarer upptäckts, i synnerhet en dubbel pulsar PSR J0737-3039, där båda objekten är pulsarer.[35]

Svarta hål och andra kompakta objekt[redigera | redigera wikitext]

Simulering av en gravitationell linsverkan av ett svart hål, vilket förvränger bilden av en galax i bakgrunden

När förhållandet mellan ett föremåls massa och dess radie blir tillräckligt stor, förutsäger allmänna relativitetsteorin bildandet av ett svart hål, en region från vilket ingenting, inte ens ljus, kan fly. I den för närvarande accepterade modellen av stjärnornas utveckling är neutronstjärnor kring 1,4 solmassor och svarta hål med ett par till ett tiotal solmassor, det slutliga tillståndet för utvecklingen av massiva stjärnor.[36] Vanligtvis har en galax ett supermassivt svart hål med ett par miljoner till ett par miljarder solmassor i dess centrum[37] och dess närvaro tros ha spelat en viktig roll i bildandet av galaxen och större kosmiska strukturer.[38]

Astronomiskt är den viktigaste egenskapen hos kompakta objekt att de ger en överlägset effektiv mekanism för omvandling av gravitationell energi till elektromagnetisk strålning.[39] Infallande damm och gasformigt material på massiva eller supermassiva svarta hål, tros orsaka några spektakulära lysande astronomiska objekt, särskilt olika typer av aktiva galaxer och stjärnformade föremål såsom mikrokvasarer.[40] I synnerhet kan anhopning leda till relativistiska jets, fokuserade strålar av högenergetiska partiklar som slungas ut i rymden med nästan ljusets hastighet.[41] Allmän relativitetsteori spelar en central roll för att modellera alla dessa företeelser[42] och observationer ger starka belägg för existensen av svarta hål med de egenskaper som förutsägs av teorin.[43]

Svarta hål är också eftertraktade mål i sökandet efter gravitationsvågor (jämför gravitationsvågor, ovan). Sammanslagning av svarta hål bör leda till att några av de starkaste gravitationella vågsignalerna når detektorerna på jorden och fasen direkt före fusionen skulle kunna användas för att härleda avståndet till fusionen och därmed fungera som en sond för kosmisk expansion vid stora avstånd.[44] De gravitationsvågor som produceras när ett svart hål med en stjärnas massa störtar in ett supermassivt svart hål, bör ge direkt information om det supertunga svarta hålets geometri.[45]

Astronomi[redigera | redigera wikitext]

Gravitationell linsverkan[redigera | redigera wikitext]

Fyra bilder av samma astronomiska objekt producerade av en gravitationslins

Ljusets böjning genom gravitation ger upphov till en ny klass av astronomiska fenomen. Om ett massivt objekt ligger mellan en astronom och en avlägset objekt med lämplig massa och relativa avstånd, kommer astronomen att se flera förvrängda bilder av objektet. Sådana effekter är kända som gravitationell linsverkan. Beroende på konfiguration, skala och massfördelning, kan det finnas två eller flera bilder, en ljus ring kallas en Einsteinring och partiella ringar kallas bågar.

Det tidigaste exemplet på en dubbelpulsar upptäcktes 1979. Sedan dess har mer än hundra gravitationslinser observerats.

Gravitationell linsverkan har utvecklats till ett verktyg inom astronomin. Det används för att detektera närvaron och fördelningen av mörk materia, ger ett "naturlig teleskop" för att observera avlägsna galaxer och för att få en oberoende uppskattning av Hubblekonstanten. Statistiska utvärderingar av linsdata ger värdefulla insikter i den strukturella utvecklingen av galaxer.

Gravitationsvågsastronomi[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Gravitonastronomi
Konstnärlig tolkning av en rymdbaserad gravitationsvågsdetektor.

Observationer av binära pulsarer ger starka indirekta bevis för existensen av gravitationsvågor. Dock har gravitationsvågor som når oss från djupet av kosmos inte upptäckts direkt. Sådan detektion är ett viktigt mål för aktuell relativitetsrelaterad forskning. Flera landbaserade gravitationella vågdetektorer är för närvarande i drift, främst interferometriska detektorer.

Observationer av gravitationsvågor kan komma att komplettera iakttagelser inom det elektromagnetiska spektrumet. De förväntas ge information om förmenta svarta hål och andra täta föremål såsom neutronstjärnor och vita dvärgar, om vissa typer av supernovaimplosioner och om processer i det mycket tidiga universum.

Teorins grunder[redigera | redigera wikitext]

Icke-euklidisk geometri[redigera | redigera wikitext]

En av grunderna för teorin är utvecklingen av icke-euklidiska geometrier under 1800-talets senare hälft. Euklidisk geometri kan sägas kännetecknas av Euklides femte axiom, parallellaxiomet, det vill säga att parallella linjer saknar skärningspunkt (är ekvidistanta). Janos Bolyai och Carl Friedrich Gauss insåg att ett postulat innebärande att parallella linjer är ekvidistanta inte nödvändigtvis måste gälla som grund för en korrekt beskrivning av verkligheten. Gauss utförde också mätningar av trianglars vinkelsummor för punkter på kilometervisa avstånd (för en icke-euklidisk geometri skulle denna summa avvika från 180 grader) men rumskrökningen vid jordytan är för liten för att kunna påvisas i ett sådant experiment. Allmänna icke-euklidiska geometrier formulerades av Gauss's elev Bernhard Riemann. Den moderna formuleringen av teorin använder sig av differentialgeometri, som är en gren av matematiken där man studerar lokala egenskaper hos en typ av mycket generella strukturer som kallas differentierbara mångfalder.

Den speciella relativitetsteorin[redigera | redigera wikitext]

I den speciella relativitetsteorin spelar inertialsystem en viktig roll. Inertialsystem är referenssystem som befinner sig i likformig rörelse och som inte påverkas av gravitation (det betyder inte att man inte kan ta med krafter och accelerationer i beräkningarna, men dessa måste behandlas för sig).

Den speciella relativitetsteorin utgår från att alla inertialsystem är ekvivalenta (samma fysikaliska lagar gäller i samtliga) och från postulatet att ljushastigheten är densamma i alla inertialsystem. Skälet till att den kallas speciell är att den inte behandlar gravitationen.

Ekvivalensprincipen[redigera | redigera wikitext]

Einstein utgick från det som numera kallas den svaga ekvivalensprincipen. Enligt denna är den massa som ingår i Newtons andra lag

\vec F = m \vec a

identisk med den massa som ingår i den gravitationella kraften

\vec F=m G M {\vec r\over r^3},

vilket innebär att man kan definiera en acceleration på grund av gravitationen,

\vec a = G M {\vec r\over r^3}.

Den svaga ekvivalensprincipen kan därför formuleras på ett annat sätt: fritt fallande objekt beter sig på samma sätt under påverkan av likformig acceleration som under påverkan av gravitation. Man måste dock begränsa sig till så små regioner av rummet att gravitationskraften kan anses konstant.

Svaga ekvivalensprincipen brukar ofta illustreras med tankeexperimentet att en observatör som befinner sig i en sluten hiss i rymden inte kan avgöra, genom att observera fallande objekt inuti hissen, om hissen accelererar likformigt på grund av en konstant kraft från hisslinan eller om den påverkas av gravitation (ingen kraftverkan från hisslinan).

I accelererande referensramar har fritt rörliga kroppar en acceleration med avseende på denna referensram, det vill säga det finns en kraft som härrör från referensramens acceleration och inte från direkt påverkan av yttre objekt (till exempel känner vi G-krafter i kurvor när vi färdas med bil). Analogt uppstår corioliskrafter och centrifugalkrafter med avseende på vissa referensramar för roterande objekt som jorden eller en karusell.

Einstein generaliserade denna princip till det som nu kallas Einsteins ekvivalensprincip (EEP): I en tillräckligt liten region av rumtiden är det omöjligt att särskilja gravitation och acceleration med något lokalt experiment. I en sådan lokal region kan den speciella relativitetsteorin tillämpas.

Einstein visade hur EEP leder till att gravitationen inte längre kan anses vara en kraft utan istället är en effekt av det krökta rummet. I den speciella relativitetsteorin kan en acceleration unikt definieras i förhållande till ett inertialsystem. Om till exempel en elektriskt laddad partikel accelereras av ett elektriskt fält så kan man unikt mäta accelerationen relativt ett system i likformig rörelse; det är bara likformig rörelse som är relativ. Men om gravitationen behandlas som en acceleration hamnar vi i svårigheter eftersom det inte finns några objekt som inte påverkas av gravitationen. Det finns alltså ingenting relativt vilket vi kan mäta denna acceleration! Einstein såg detta som ett så allvarligt problem att han bestämde sig för att helt överge idén att gravitationen är en kraft och därmed att det finns något sådant som gravitationell acceleration.

Fritt fallande referenssystem[redigera | redigera wikitext]

I den allmänna relativitetsteorin talar man om fritt fallande referenssystem. Dessa är oaccelererade system som rör sig fritt, utan påverkan från yttre krafter. Objekt som endast är under inflytande av gravitation är fritt fallande och följer därmed den kortast möjliga banan mellan punkter i rumtiden. Detta är det stora steget när man går från den speciella till den allmänna relativitetsteorin.

Eftersom det gravitationella fältet från ett massivt objekt aldrig är konstant i rummet, kan man inte definiera globala referenssystem som omfattar hela rummet. Om man försöker göra detta, kommer fritt fallande objekt som är tillräckligt långt borta att förefalla accelererade, när de påverkas av gravitationen. (Antag att två objekt attraheras gravitationellt av en planet på långt avstånd från denna och faller radiellt mot planeten, vilket går att skilja från likformig acceleration av det globala referenssystemet.)

Man måste därför nöja sig med lokala inertialsystem, vilket leder till att de relativa hastigheterna hos objekt på stort avstånd från varandra inte är väldefinierade.

Det krökta rummet[redigera | redigera wikitext]

Rumtiden får alltså en krökt geometri där Newtons lagar antas gälla i lokala referensramar för låga hastigheter. Fria partiklar färdas längs räta linjer i dessa lokala inertialsystem men när dessa sträckor kan anses "långa" märks krökningen av rummet. Partiklarna färdas då efter geodetiska banor, det vill säga de kortaste banorna i det krökta rummet. Detta kan tolkas som att Newtons första lag ersätts med lagen om geodetisk rörelse.

Det är naturligt att matematiskt beskriva detta med differentierbara mångfalder, vilka är matematiska strukturer som är lokalt plana. Mer precist ser en n-dimensionell mångfald lokalt (på infinitesimala avstånd) ut som Rn, det vill säga det euklidiska n-dimensionella rummet. I den allmänna relativitetsteorin ser rummet lokalt ut som det plana Minkowskirummet som används i den speciella relativitetsteorin, men globalt är det krökt. På grund av detta kan man inte direkt jämföra vektorer som hastighet och acceleration för olika punkter i rummet utan vektorer för olika punkter tillhör olika tangentrum.

Sammanfattning[redigera | redigera wikitext]

I den speciella relativitetsteorin antas att referensramar kan utvidgas obegränsat i tid och rum. I den allmänna relativitetsteorin kan vi däremot endast definiera lokala referensramar, det vill säga referensramar definierade i en tillräckligt liten del av rumtiden. Detta är analogt med att vi kan rita en tvådimensionell karta av ett litet område av jordytan med stor noggrannhet, men inte utsträcka kartan till att avbilda hela jordytan utan förvrängning.

Den allmänna relativitetsteorin vilar på tre principer:

  • Gravitationen är inte en kraft utan en effekt av att rumtiden är krökt.
  • Alla fria objekt rör sig efter de kortaste möjliga banorna i detta krökta rum. Dessa kortaste banor kallas geodeter.
  • Krökningen av rummet är en effekt av massa och energi.

Experimentellt stöd[redigera | redigera wikitext]

Det första experimentella stödet för den allmänna relativitetsteorin gavs av Arthur Eddington som 1919 företog en expedition för att mäta ljusstrålars böjning på grund av solens gravitation och sedan jämföra dessa med den allmänna relativitetsteorins förutsägelser. Under en total solförmörkelse registrerade Eddington stjärnpositioner fotografiskt i solens omedelbara närhet för att sedan jämföra dessa positioner i riktningar utan solens påverkan och han kunde på så sätt visa att ljusbanorna böjdes av i gravitationsfältet nära solen. I vilken utsträckning Eddington verkligen gav ett vetenskapligt stöd för den allmänna relativitetsteorin är omdiskuterat. Senare undersökningar (observationsmaterialet är bevarat) tyder på att endast själva ljusböjningsfenomenet blev fastställt med någorlunda säkerhet.

Moderna experiment har verifierat teorin inom gränserna för experimentens noggrannhet. Exempelvis påvisade Pound-Rebkaexperimentet (1959)[14] ändringar i våglängd för ljus från en koboltkälla över en sträcka av 22,5 meter i en riktning motsatt gravitationens. Merkurius perihelionprecession är ett annat exempel.

Den allmänna relativitetsteorins status[redigera | redigera wikitext]

Den allmänna relativitetsteorin betraktas i dag som en "effektiv" teori för låga energier (den anses asymptotiskt korrekt vid låga energier). För höga energier är den oförenlig med kvantmekaniken. Bland annat strängteorin är ett försök att förena gravitation och kvantmekanik i en enhetlig teori (se kvantgravitation).

Matematisk beskrivning[redigera | redigera wikitext]

Matematiskt modelleras rumtiden med hjälp av differentialgeometri som en fyrdimensionell pseudo-Riemannsk mångfald, (jfr engelskans "manifold") med en metrik, eller metrisk tensor, \; g_{\alpha\beta}(x), som specificerar rummets lokala krökning i punkten \; x. Metriken beskriver hur man mäter avstånd på mångfalden – man kan säga att den anger avvikelsen från Pythagoras sats för trianglar i det icke-Euklidiska rummet – och är en symmetrisk 2-tensor definierad över den 4-dimensionella rumtiden (det vill säga den kan representeras som en 4 x 4 – matris), vilket innebär att den har 10 oberoende komponenter.

Einsteins fältekvationer anger att mångfaldens krökning, som anges av den så kallade Riemanntensorn, i en punkt är direkt relaterad till stressenergitensorn i denna punkt. Denna tensor är ett mått på materia/energi-densiteten. Metriken i sin tur är relaterad till Riemanntensorn. Rumtid-krökningen styr hur materia rör sig och materia styr hur rumtiden kröks.

Einsteins fältekvationer specificerar alltså rumtidens respons på förekomsten av materia och energi. De innefattar tensorer och kan skrivas

R_{\alpha\beta} - {1 \over 2} g_{\alpha\beta} R = {8 \pi G \over c^4} T_{\alpha\beta}

vilket motsvarar en icke-linjär differentialekvation för varje komponent av den metriska tensorn \; g_{\alpha\beta}(x). Högerledet i denna ekvation specificerar mass-energifördelningen i rumtiden, och relaterar detta till vänsterledet som ger ett mått på krökningen.

I ekvationen ovan är

På grund av att metriken har 10 komponenter är Einsteins ekvationer därför 10 till antalet, en för varje komponent. De matematiska egenskaperna hos mångfalder ger dock den så kallade Bianchi-identiteten som ger restriktioner på fyra av komponenterna, motsvarande rumtidens fyra koordinater. Alltså återstår 6 oberoende ekvationer.

Riccitensorn \; R_{\alpha\beta} och skalärkrökningen \; R beräknas från den mer generella Riemanntensorn, vilken i sin tur beräknas från metriken och derivator av denna.

Materiens respons på den krökta rumtiden i sin tur ges av att en fri partikels bana följer en geodet, en parametriserad kurva \; x^\mu(\lambda), som är den kortaste sträckan i den krökta rumtiden. Kurvan ges av den geodetiska ekvationen

\frac{d^2x^\mu}{d\lambda^2} = \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{dx^\rho}{d\lambda} \frac{dx^\sigma}{d\lambda},

där man summerar över index \rho och \sigma enligt Einsteins summakonvention. \; \Gamma^\mu_{\rho\sigma} är den så kallade Christoffelsymbolen, som också är relaterad till rummets krökning.

Einsteins fältekvationer skrivs ibland med en parameter kallad "den kosmologiska konstanten", Λ, som ursprungligen introducerades av Einstein för att vara konsistent med ett statiskt universum (som varken expanderar eller drar sig samman). Denna åtgärd var oriktig av två anledningar. Ett statiskt universum beskrivet av denna teori är instabilt och observationer gjorda av Edwin Hubble ett årtionde senare visade att vårt universum inte är statiskt utan expanderar. Parametern Λ övergavs därför. På senare tid har man genom observationer, som tolkats så att universums expansion accelererar, funnit att ett värde på Λ skilt från noll ändå förefaller nödvändigt. Detta värde leder till att universums expansion accelererar i enlighet med observationerna.

Fältekvationen med kosmologisk konstant skrivs:

R_{\alpha\beta} - {1 \over 2} g_{\alpha\beta} R + \Lambda g_{\alpha\beta} = {8 \pi G \over c^4} T_{\alpha\beta}.

Se vidare kosmologiska konstanten för den fysikaliska innebörden av Λ.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ ”Nobel Prize Biography”. Nobel Prize Biography. Nobel Prize. http://www.nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1921/einstein-bio.html. Läst 25 februari 2011. 
  2. ^ Pais 1982, ch. 9 to 15, Janssen 2005; an up-to-date collection of current research, including reprints of many of the original articles, is Renn 2007; an accessible overview can be found in Renn 2005, s. 110ff. An early key article is Einstein 1907, cf. Pais 1982, ch. 9. The publication featuring the field equations is Einstein 1915, cf. Pais 1982, ch. 11–15
  3. ^ Schwarzschild 1916a, Schwarzschild 1916b and Reissner 1916 (later complemented in Nordström 1918)
  4. ^ Einstein 1917, cf. Pais 1982, ch. 15e
  5. ^ Hubble's original article is Hubble 1929; an accessible overview is given in Singh 2004, ch. 2–4
  6. ^ As reported in Gamow 1970. Einstein's condemnation would prove to be premature, cf. the section Cosmology, below
  7. ^ Pais 1982, s. 253–254
  8. ^ Kennefick 2005, Kennefick 2007
  9. ^ Pais 1982, ch. 16
  10. ^ Thorne, Kip (2003). ”Warping spacetime”. The future of theoretical physics and cosmology: celebrating Stephen Hawking's 60th birthday. Cambridge University Press. Sid. 74. ISBN 0-521-82081-2. http://books.google.com/books?id=yLy4b61rfPwCMall:Inconsistent citations , Extract of page 74
  11. ^ Israel 1987, ch. 7.8–7.10, Thorne 1994, ch. 3–9
  12. ^ Rindler 2001, s. 24–26 vs. pp. 236–237 and Ohanian & Ruffini 1994, s. 164–172. Einstein derived these effects using the equivalence principle as early as 1907, cf. Einstein 1907 and the description in Pais 1982, s. 196–198
  13. ^ Rindler 2001, s. 24–26; Misner, Thorne & Wheeler 1973, § 38.5
  14. ^ [a b] Pound–Rebka experiment, see Pound & Rebka 1959, Pound & Rebka 1960; Pound & Snider 1964; a list of further experiments is given in Ohanian & Ruffini 1994, table 4.1 on p. 186
  15. ^ Greenstein, Oke & Shipman 1971; the most recent and most accurate Sirius B measurements are published in Barstow, Bond et al. 2005.
  16. ^ Starting with the Hafele–Keating experiment, Hafele & Keating 1972a and Hafele & Keating 1972b, and culminating in the Gravity Probe A experiment; an overview of experiments can be found in Ohanian & Ruffini 1994, table 4.1 on p. 186
  17. ^ GPS is continually tested by comparing atomic clocks on the ground and aboard orbiting satellites; for an account of relativistic effects, see Ashby 2002 and Ashby 2003
  18. ^ Stairs 2003 and Kramer 2004
  19. ^ General overviews can be found in section 2.1. of Will 2006; Will 2003, pp. 32–36; Ohanian & Ruffini 1994, sec. 4.2
  20. ^ Ohanian & Ruffini 1994, s. 164–172
  21. ^ These have been indirectly observed through the loss of energy in binary pulsar systems such as the Hulse–Taylor binary, the subject of the 1993 Nobel Prize in physics. A number of projects are underway to attempt to observe directly the effects of gravitational waves. For an overview, see Misner, Thorne & Wheeler 1973, part VIII. Unlike electromagnetic waves, the dominant contribution for gravitational waves is not the dipole, but the quadrupole; see Schutz 2001
  22. ^ Most advanced textbooks on general relativity contain a description of these properties, e.g. Schutz 1985, ch. 9
  23. ^ For example Jaranowski & Królak 2005
  24. ^ Rindler 2001, ch. 13
  25. ^ See Lehner 2002 for a brief introduction to the methods of numerical relativity, and Seidel 1998 for the connection with gravitational wave astronomy
  26. ^ Gowdy 1971, Gowdy 1974
  27. ^ Schutz 2003, s. 48–49, Pais 1982, s. 253–254
  28. ^ Rindler 2001, sec. 11.9
  29. ^ Will 1993, s. 177–181
  30. ^ In consequence, in the parameterized post-Newtonian formalism (PPN), measurements of this effect determine a linear combination of the terms β and γ, cf. Will 2006, sec. 3.5 and Will 1993, sec. 7.3
  31. ^ The most precise measurements are VLBI measurements of planetary positions; see Will 1993, ch. 5, Will 2006, sec. 3.5, Anderson et al. 1992; for an overview, Ohanian & Ruffini 1994, s. 406–407
  32. ^ Kramer et al. 2006
  33. ^ Stairs 2003, Schutz 2003, s. 317–321, Bartusiak 2000, s. 70–86
  34. ^ Weisberg & Taylor 2003; for the pulsar discovery, see Hulse & Taylor 1975; for the initial evidence for gravitational radiation, see Taylor 1994
  35. ^ Kramer 2004
  36. ^ Miller 2002, lectures 19 and 21
  37. ^ Celotti, Miller & Sciama 1999, sec. 3
  38. ^ Springel et al. 2005 and the accompanying summary Gnedin 2005
  39. ^ Blandford 1987, sec. 8.2.4
  40. ^ For the basic mechanism, see Carroll & Ostlie 1996, sec. 17.2; for more about the different types of astronomical objects associated with this, cf. Robson 1996
  41. ^ For a review, see Begelman, Blandford & Rees 1984. To a distant observer, some of these jets even appear to move faster than light; this, however, can be explained as an optical illusion that does not violate the tenets of relativity, see Rees 1966
  42. ^ For stellar end states, cf. Oppenheimer & Snyder 1939 or, for more recent numerical work, Font 2003, sec. 4.1; for supernovae, there are still major problems to be solved, cf. Buras et al. 2003; for simulating accretion and the formation of jets, cf. Font 2003, sec. 4.2. Also, relativistic lensing effects are thought to play a role for the signals received from X-ray pulsars, cf. Kraus 1998
  43. ^ The evidence includes limits on compactness from the observation of accretion-driven phenomena ("Eddington luminosity"), see Celotti, Miller & Sciama 1999, observations of stellar dynamics in the center of our own Milky Way galaxy, cf. Schödel et al. 2003, and indications that at least some of the compact objects in question appear to have no solid surface, which can be deduced from the examination of X-ray bursts for which the central compact object is either a neutron star or a black hole; cf. Remillard et al. 2006 for an overview, Narayan 2006, sec. 5. Observations of the "shadow" of the Milky Way galaxy's central black hole horizon are eagerly sought for, cf. Falcke, Melia & Agol 2000
  44. ^ Dalal et al. 2006
  45. ^ Barack & Cutler 2004

Källor[redigera | redigera wikitext]

Litteratur[redigera | redigera wikitext]

Populärt[redigera | redigera wikitext]

  • Kip Thorne, Black Holes and Time Warps: Einstein's Outrageous Legacy, (W.W. Norton & Company, New York, 1994). ISBN 0-393-31276-3. Prisbelönt populärvetenskap av namnkunnig fysiker.
  • Hermann Bondi, Relativity and Common Sense, Heinemann (1964). ISBN 0-486-24021-5. En lätt introduktion till principerna bakom relativiteten av en välkänd fysiker.

Med matematik[redigera | redigera wikitext]

I allmänhet behöver man som förkunskaper en del linjär algebra (bland annat matriser), analys och klassisk mekanik (på högre nivå tensorer och lagrangeformuleringen av mekaniken) för att studera allmän relativitetsteori. Flera av böckerna nedan förklarar dock mycket av detta och den differentialgeometri man behöver introduceras i dessa böcker. I själva verket behöver man inte kunna så mycket modern fysik för att förstå teorin. Det är dock bra att ha grundkunskaper om den speciella relativitetsteorin, innan man börjar.

På svenska:

  • Olof Sjöstrand, Einsteins relativitetsteori - Matematisk bakgrund och enkla tillämpningar, Akademiförlaget (1971). Börjar med den speciella relativitetsteorin. Differential- och integralkalkyl, partiella derivator, differentialekvationer och determinanter bör vara kända för att fatta den gradvisa introduktionen av den tensoranalys som används för den allmänna teorin.

På engelska:

  • Sean Carroll, A no-nonsense introduction to general relativity (pdf). Mycket kortfattad (20 sidor) men användbar introduktion till teorin på universitetsnivå. Ger en indikation om vad man behöver lära sig.
  • Ray D'Inverno, Introducing Einstein's Relativity, (Oxford University Press, 1993). En modern text på "undergraduate level", det vill säga enklare universitetsnivå.
  • James B. Hartle, Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity (2002), ISBN 0-8053-8662-9. Också "undergraduate" universitetsnivå, men betonar fysiken mer än matematiken – de flesta andra böcker börjar med differentialgeometri och kommer sedan till fysiken.
  • Bernard F. Schutz, A First Course in General Relativity (1995), ISBN 0-521-27703-5. Ungefär samma nivå men börjar med matematiken.
  • Sean M. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (2003), ISBN 0-8053-8732-3. Något högre nivå än de tre tidigare. Finns även i en tidigare, något kortare version på nätet: Introduction to general relativity.
  • Jerzy Plebanski & Andrzej Krasinski, An Introduction to General Relativity and Cosmology. Cambridge University Press ( July 2006), ISBN 0-521-85623-X. En modern första "graduate textbook".
  • Misner, Thorne, Wheeler: Gravitation, Freeman (1973), ISBN 0-7167-0344-0. En klassisk bok på relativt hög nivå, kräver en del matematik och fysik på högre universitetsnivå ("graduate level", det vill säga. doktorandnivå). Mycket omfattande; baserar sig till större del på geometriska grunder och resonemang.
  • W. Perret and G.B. Jeffrey, trans.: The Principle of Relativity: A Collection of Original Memoirs on the Special and General Theory of Relativity, New York Dover (1923).

På tyska:

  • Albert Einstein: Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 49, 1916, S. 769–822 (Faksimile, PDF)
  • Albert Einstein: Über den Einfluß der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes. In: Annalen der Physik. 35, 1911, S. 898–908 (Faksimile, PDF)
  • Albert Einstein: Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie. In: Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften. 1915, S. 831–839