- Denna artikel utgör en fördjupning av artikeln om måttintegral.
Måttintegraler har några intressanta egenskaper. Låt
vara ett måttrum,
vara en måttintegral med avseende på måttet µ och f och g vara mätbara funktioner
.
Måttintegraler dessa grundläggande egenskaper.
Monotonicitet: om
är
.
Linjäritet: om f och g är integrerbara är summan
också integrerbar och
![{\displaystyle \int (af+bg)\,d\mu =a\int f\,d\mu +b\int g\,d\mu \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a0db0ae1212d3a9d550df288a330534608e7fb9)
för alla
.
Triangelolikheten för integraler: absolutbeloppet av integralen är mindre än eller lika med integralen av absolutbeloppet:
.
Additivitet för funktioner: om
är integrerbara funktioner är
![{\displaystyle \int \sum _{k=1}^{n}f_{k}\,d\mu =\sum _{k=1}^{n}\int f_{k}\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6863ba96b52beb445df2f5ff9b1183257fce65df)
Additivitet för mängder: om
är mäbara funktionen och
är parvis disjunkta mätbara mängder är
![{\displaystyle \int _{A_{1}\cup \ldots \cup A_{n}}f\,d\mu =\sum _{k=1}^{n}\int _{A_{k}}f\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d46025896f320a39155deb0fcc52f93c905ddaa)
Nollmängder påverkar inte måttintegraler.
- Om
så är
.
.
Måttintegraler har många konvergenssatser. Konvergenssatser kallas de villkor som leder till
,
där
är integrerbara funktioner för alla
, så att det finns
.
Med andra ord är en konvergenssats ett tillräckligt villkor för att man ska kunna byta ordning på gränsvärde och integral.
Monotona konvergenssatsen: om
så existerar gränsvärdet
och
.
Dominerade konvergenssatsen: om det finns en funktion
som är integrerbar så att
för alla
nästan överallt och
existerar så är
.
Begränsade konvergenssatsen: om
och
för alla
var
så är
![{\displaystyle \int \lim _{i\rightarrow \infty }f_{i}\,d\mu =\lim _{i\rightarrow \infty }\int f_{i}\,d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5a7b7ac2b371fcec391f24568753ec6374faecc)
Fatous lemma: om
är mätbara funktioner så gäller att
![{\displaystyle \int \liminf _{i\rightarrow \infty }f_{i}\,d\mu \leq \liminf _{i\rightarrow \infty }\int f_{i}\,d\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2711683cf6dbfcdd38cb2ccdd3a8ed5da4bfe5d7)
och
.
Måttintegralen av icke-negativa funktioner är sigma-additiv över mängder. Det vill säga om
och
är uppräknelig sekvens av parvis disjunkta mängder i
så är
![{\displaystyle \int _{\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}f\,d\mu =\sum _{i=1}^{\infty }\int _{A_{i}}f\,d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85cf7a281e0617c54e5263c5800887efdda9ebaa)
Detta betyder också att funktionen
, där
, är ett mått eftersom integralen över tomma mängden är noll.
Måttintegralen är också sigma-additiv med avseende på icke-negativa funktioner. Den här egenskapen kallas Beppo Levis sats: om
är uppräknelig sekvens av mätbara funktioner så är
![{\displaystyle \int \sum _{k=1}^{\infty }f_{k}\,d\mu =\sum _{k=1}^{\infty }\int f_{k}\,d\mu .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b2eb99657a8024c0a51924859ff19318f7e07c)
Detta är en enkel följd av monotona konvergenssatsen, som kan appliceras på alla delsummor av de oändliga summorna.
- G.B. Folland, Real analysis: Modern techniques and their applications, Second edition, Wiley interscience, (1999)