Hoppa till innehållet

Egenskaper hos måttintegral

Från Wikipedia
Denna artikel utgör en fördjupning av artikeln om måttintegral.

Måttintegraler har några intressanta egenskaper. Låt vara ett måttrum, vara en måttintegral med avseende på måttet µ och f och g vara mätbara funktioner .

Grundläggande egenskaper

[redigera | redigera wikitext]

Måttintegraler dessa grundläggande egenskaper.

Monotonicitet: om är

.

Linjäritet: om f och g är integrerbara är summan också integrerbar och

för alla .

Triangelolikheten för integraler: absolutbeloppet av integralen är mindre än eller lika med integralen av absolutbeloppet:

.

Additivitet för funktioner: om är integrerbara funktioner är

Additivitet för mängder: om är mäbara funktionen och är parvis disjunkta mätbara mängder är

Nollmängder

[redigera | redigera wikitext]

Nollmängder påverkar inte måttintegraler.

  • Om så är
.
.

Konvergenssatser

[redigera | redigera wikitext]

Måttintegraler har många konvergenssatser. Konvergenssatser kallas de villkor som leder till

,

där är integrerbara funktioner för alla , så att det finns

.

Med andra ord är en konvergenssats ett tillräckligt villkor för att man ska kunna byta ordning på gränsvärde och integral.

Monotona konvergenssatsen: om så existerar gränsvärdet och

.

Dominerade konvergenssatsen: om det finns en funktion som är integrerbar så att för alla nästan överallt och existerar så är

.

Begränsade konvergenssatsen: om och för alla var så är

Fatous lemma: om är mätbara funktioner så gäller att

och

.

Sigma-additivitet

[redigera | redigera wikitext]

Måttintegralen av icke-negativa funktioner är sigma-additiv över mängder. Det vill säga om och är uppräknelig sekvens av parvis disjunkta mängder i så är

Detta betyder också att funktionen , där , är ett mått eftersom integralen över tomma mängden är noll.

Måttintegralen är också sigma-additiv med avseende på icke-negativa funktioner. Den här egenskapen kallas Beppo Levis sats: om är uppräknelig sekvens av mätbara funktioner så är

Detta är en enkel följd av monotona konvergenssatsen, som kan appliceras på alla delsummor av de oändliga summorna.

  • G.B. Folland, Real analysis: Modern techniques and their applications, Second edition, Wiley interscience, (1999)