Enkel funktion

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Exempelvis är stegfunktioner enkla funktioner.

En enkel funktion är inom matematisk analys en funktion som endast antar ett ändligt antal värden. Ett enkelt exempel är takfunktionen på intervallet som endast antar värden . Ett annat exempel är Dirichlets funktion som endast antar värden 0 (för irrationella tal) och 1 (för rationella tal). Enkla funktioner används i första stadiet av konstruktionen av exempelvis Lebesgueintegralen, då det är väldigt lätt att integrera över en enkel funktion.

Definition[redigera | redigera wikitext]

En enkel funktion kan uttryckas som en linjärkombination av indikatorfunktioner, , av mätbara mängder. Om är ett mätbart rum, är en följd av mätbara mängder och en följd av tal, är

en enkel funktion.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Summor, skillnader och produkter av enkla funktioner är återigen enkla funktioner, så att mängden av alla enkla funktioner bildar en kommutativ algebra över en kropp.

För varje icke-negativ mätbar funktion f från ett måttrum X till de reella talen existerar det en följd av enkla funktioner så att

likformigt när .

Integration[redigera | redigera wikitext]

Om är ett måttrum, så är integralen av en enkel funktion med avseende på :

om alla summander är ändliga.

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.