Epsilon-delta-bevis

Epsilon-delta-bevis är en typ av matematiska bevis angående gränsvärden. Med hjälp av epsilon-delta-bevis kan man exempelvis undersöka funktioners kontinuitet eller bevisa att en funktion har ett visst gränsvärde i en viss punkt.

Princip

Principen bakom epsilon-delta-beviset är att man undersöker en funktions kontinuitet i en viss punkt, i ett obegränsat antal dimensioner. Om man undersöker en funktion i en variabel, $f(x)$, så granskar man en punkt $(x_{0},y_{0})$.

Man bestämmer en viss avvikelse som tillåts från $y_{0}$ betecknat epsilon ($\epsilon$). Man vill nu hitta en liknande avvikelse på x-axeln, delta ($\delta$) som man vill få ett uttryck för. Idén är att bevisa att för alla $\epsilon >0$, oberoende hur litet man väljer det, finns det ett motsvarande $\delta >0$ som gör att funktionens värden hålls innanför det bestämda intervallet (ifall funktionen är kontinuerlig i den valda punkten). I epsilon-delta-beräkningen gäller nu följande:

Vi studerar funktionen $f(x)$ för olika värden på x. Om x kommer närmare punkten ($x_{0},y_{0}$) än det $\delta$ vi söker, måste funktionens y-värde i punkten x vara närmare $y_{0}$ än det $\epsilon$ vi bestämt.

I matematisk skrift kan detta uttryckas:

$\left|x-x_{0}\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-f(x_{0})\right|<\epsilon$

Exempel

Vi har funktionen $f(x)=2x-7$ och vi vill bevisa att $\lim _{x\to 4}f(x)=1$ (notera att detta inte trivialt följer av att $f(4)=1$. Det vi i realiteten visar är att funktionen är kontinuerlig i $x=4$). Vi gör detta med hjälp av ett epsilon-delta-bevis. Vi bestämmer inget speciellt tal för epsilon, utan vi vill ha ett uttryck som svar.

Vi utgår ifrån att

$\left|f(x)-f(x_{0})\right|<\epsilon$

$\Leftrightarrow \left|2x-7-1\right|<\epsilon$

$\Leftrightarrow \left|2x-8\right|<\epsilon$

$\Leftrightarrow 2\left|x-4\right|<\epsilon$

$\Leftrightarrow \left|x-4\right|<{\frac {\epsilon }{2}}$

Detta innebär att så länge x-värdet vi granskar inte är längre än ${\frac {\epsilon }{2}}$ från $x_{0}=4$, är y-värdet mindre än $\epsilon$ från $y_{0}=1$.

Vi kan alltså välja $\delta ={\frac {\epsilon }{2}}$ som maximal avvikelse längs x-axeln och kan då konstatera att så länge $0<\left|x-4\right|<\delta$ är $\left|y-y_{0}\right|=\left|(2x-7)-1\right|<\epsilon ,\forall \epsilon >0$.

Alternativ beskrivning

Studera den reellvärda funktionen

$f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}},$

vars definitionsmängd är den punkterade tallinjen $\mathbf {R} \setminus \{1\}$. Vi är intresserade av att undersöka funktionens värden, $f(x)$, då argumentet, $x$, rör sig kring det förbjudna talet $1$. Om argumentet antar värdena 1.01, 1.001, 1.0001 och 0.9999, antar funktionen de motsvarande värdena 2.01, 2.001, 2.0001 respektive 1.9999. Detta indikerar att funktionsvärdet f(x) närmar sig talet 2 då argumentet x närmar sig talet 1, både från höger och vänster på tallinjen. Det verkar som man kan få funktionsvärdet hur nära talet 2 som helst, bara man väljer argumentet tillräckligt nära talet 1.

Säg att vi vill att funktionsvärdet $f(x)$ skall befinna sig på avståndet $\varepsilon$ från talet 2. Detta kan man uttrycka med hjälp av absolutbelopps-funktionen:

$\vert f(x)-2\vert <\varepsilon .$

Vad innebär detta för argumentet $x$ ?

Om man sätter in uttrycket för funktionsvärdena får man

$\vert f(x)-2\vert =\left\vert {\frac {x^{2}-1}{x-1}}-2\right\vert =\vert x+1-2\vert =\vert x-1\vert ,$

där vi har tillämpat konjugatregeln för att förenkla uttrycket ${\frac {x^{2}-1}{x-1}}$. Detta visar att om vi vill att avståndet $\vert f(x)-2\vert <\varepsilon ,$ måste vi välja talet $x$ så att avståndet $\vert x-1\vert <\varepsilon .$

Vi har alltså lyckats visa att det, för varje val av talet $\varepsilon$, går att finna ett motsvarande tal $\delta$ — vilket i detta fall råkar sammanfalla med talet $\varepsilon$ — så att avståndet $\vert f(x)-2\vert <\varepsilon$ om avståndet $\vert x-1\vert <\delta .$

Med logisk symbolik uttrycker man detta på följande sätt:

$\forall \varepsilon >0,\quad \exists \delta >0:\quad \vert x-1\vert <\delta \Longrightarrow \vert f(x)-2\vert <\varepsilon .$

Detta utläses: För varje $\varepsilon >0$ existerar det $\delta >0$ sådant att om $\vert x-1\vert <\delta ,$ så är $\vert f(x)-2\vert <\varepsilon .$

Källor

• Wolfram MathWorld: Epsilon-Delta Proof
• Wolfram MathWorld: Epsilon-Delta Definition