Moore–Penroses pseudoinvers

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Moore-Penrose pseudoinvers)
Hoppa till: navigering, sök

Moore–Penroses pseudoinvers är inom linjär algebra en generalisering av vissa egenskaper hos matrisinversen för icke-kvadratiska matriser, uppkallad efter Eliakim Hastings Moore och Roger Penrose, som beskrev den oberoende av varandra 1920 respektive 1955.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Moore–Penroses pseudoinvers till en matris är en matris som uppfyller:

  1.       ( behöver inte vara en enhetsmatris, men ska avbilda alla kolonnvektorer i på sig själva);
  2.       ( is är en svag invers för den multiplikativa semigruppen);
  3.       ( är en hermitesk matris)
  4.       ( är också hermitesk).

är det hermiteska konjugatet till . För reella matriser är detta samma sak som transponatet.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Givet en matris med Moore–Penroses pseudoinvers , gäller följande:

  • är unik.
  • Om är en inverterbar matris, är .
  • Pseudoinversen av pseudoinversen är den ursprungliga matrisen, .
  • är en ortogonal projektions värderum.
  • är en ortogonal projektion på s värderum.
  • Pseudoinversen till en nollmatris är dess transponat.

Specialfall[redigera | redigera wikitext]

Ortonormala rader och kolonner[redigera | redigera wikitext]

Om har ortonormala kolonnvektorer () eller ortonormala radvektorer ( så är ).

Linjärt oberoende kolonner och rader[redigera | redigera wikitext]

Om kolonnerna i är linjärt oberoende är inverterbar och Moore–Penroses pseudoinvers kan beräknas med:

.

Det följer då att är vänsterinvers till .

Om raderna i är linjärt oberoende är inverterbar och Moore–Penroses pseudoinvers kan beräknas med:

.

Det följer då att är högerinvers till .

Beräkning[redigera | redigera wikitext]

Singulärvärdesfaktorisering[redigera | redigera wikitext]

Om matrisen har singulärvärdesfaktoriseringen så fås . Pseudoinversen av , som är en "nästan diagonal" matris med matrisens singulärvärden i diagonalen, genom att ersätta varje element i diagonalen med . Exempel:

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Moore–Penroses pseudoinvers ger en minsta kvadrat-lösning till system av linjära ekvationer. Om systemet ges av ges minsta kvadrat-lösningen av .