Moore-Penrose pseudoinvers

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Moore-Penrose pseudoinvers är inom linjär algebra en generalisering av vissa egenskaper hos matrisinversen för icke-kvadratiska matriser, uppkallad efter Eliakim Hastings Moore och Roger Penrose, som beskrev den oberoende av varandra 1920 respektive 1955.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Moore-Penrose pseudoinvers till en matris  A är en matris  A^+ som uppfyller:

  1. A A^+A = A       (A A^+ behöver inte vara en enhetsmatris, men ska avbilda alla kolonnvektorer i A på sig själva);
  2. A^+A A^+ = A^+       (A^+ is är en svag invers för den multiplikativa semigruppen);
  3. (AA^+)^* = AA^+       (AA^+ är en hermitesk matris)
  4. (A^+A)^* = A^+A       (A^+A är också hermitesk).

 A^* är det hermiteska konjugatet till  A . För reella matriser är detta samma sak som transponatet.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Givet en matris  A med Moore-Penrose pseudoinvers  A^+ , gäller följande:

Specialfall[redigera | redigera wikitext]

Ortonormala rader och kolonner[redigera | redigera wikitext]

Om  A har ortonormala kolonnvektorer (AA^* = I) eller ortonormala radvektorer ( A^*A = I så är  A^+ = A^*.

Linjärt oberoende kolonner och rader[redigera | redigera wikitext]

Om kolonnerna i  A är linjärt oberoende är  A^*A inverterbar och Moore-Penrose pseudoinvers kan beräknas med:

A^+ = (A^*A)^{-1}A^*.

Det följer då att  A^+ är vänsterinvers till  A .

Om raderna i  A är linjärt oberoende är  AA^* inverterbar och Moore-Penrose pseudoinvers kan beräknas med:

A^+ = A^*(AA^*)^{-1}.

Det följer då att  A^+ är högerinvers till  A .

Beräkning[redigera | redigera wikitext]

Singulärvärdesfaktorisering[redigera | redigera wikitext]

Om matrisen  A har singulärvärdesfaktoriseringen  A = U \Sigma V^* så fås  A^+ = V \Sigma^+ U^* . Pseudoinversen av  \Sigma , som är en "nästan diagonal" matris med matrisens singulärvärden i diagonalen, genom att ersätta varje element  \sigma_i i diagonalen med  \frac{1}{\sigma_i} . Exempel:

\Sigma = \begin{pmatrix}
\sigma_1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \sigma_2 & 0 & 0\\
0 & 0 & \sigma_3 & 0
\end{pmatrix}
~~
\Sigma^+ = \begin{pmatrix}
\frac{1}{\sigma_1} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{\sigma_2} & 0 & 0\\
0 & 0 & \frac{1}{\sigma_3} & 0
\end{pmatrix}

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Moore-Penrose pseudoinvers ger en minsta kvadrat-lösning till system av linjära ekvationer. Om systemet ges av  Ax = b ges minsta kvadrat-lösningen av  x = A^+b .