Värderum

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Värderummet, även känt som kolonnrummet, eller bilden till en linjär avbildning är avbildningens värdemängd.

Värderummet V för en linjär avbildning (där och är två vektorrum) definieras som:

Det vill säga mängden av alla vektorer i som nås av . Att värderummet gör skäl för sitt namn och inte bara är en delmängd utan även ett underrum till visas med hjälp av definitionen av en linjär avbildning. Ty om och så existerar det så att och då gäller:

Vilket är ekvivalent med att är ett underrum av .

Eftersom och således kan skrivas på formen där är en bas till så gäller även:

Det vill säga att är en linjärkombination av och således spänns upp av det linjära höljet av dessa vektorer, vilket är ekvivalent med att säga att spänns upp av det linjära höljet av kolonnerna i den matris som avbildningen beskrivs av.

Tolkning[redigera | redigera wikitext]

Om avbildningen kan skrivas med matrisen innebär det att ekvationen har lösningar om och endast om , det vill säga om faktiskt nås av . Detta innebär alltså att om du har ett system som beskrivs av , där är någon slags transform som verkar på en insignal och ger en utsignal t.ex., så är det enbart utsignaler hörandes till värderummet som faktiskt kan erhållas.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • Bestäm om är en ortogonalprojektion i ett plan.

Lösning: Vid en ortogonalprojektion projiceras varje vektor ner i planet, alltså att man från en given vektor enbart erhåller den komposant som är parallell med planet. Således består av alla vektorer i planet, ty det är dessa som nås av avbildningen.

  • Bestäm om är en vridning med vinkel kring en axel i rummet.

Lösning: Varje vektor i rummet kan erhållas genom att vrida någon annan vektor vinkel , således kan samtliga vektorer nås av avbildningen och utgörs helt enkelt av rummet.

  • Bestäm en bas till om 4 4 ges av matrisen :

Lösning: spänns upp av kolonnerna i och vi finner således en bas till värderummet genom att teckna kolonnernas beroendeekvation och plocka bort eventuella linjärkombinationer. (där är kolonnerna i ) ger följande ekvationssystem som löses med stegvis gausselimination:

, det vill säga en parameterlösning med två parametrar vilket innebär att vi kan plocka bort två av kolonnerna utan att påverka vad de spänner upp. Man ser också att , alltså att och är linjärkombinationer av övriga kolonner och således kan plockas bort. spänner således upp och utgör en bas för värderummet.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2013, Matematiska institutionen, Linköpings Universitet
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.