Inverterbar matris

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Inom linjär algebra har en matris A egenskapen inverterbarhet eller invertibilitet, om och endast om det existerar en matris B sådan att

där I är enhetsmatrisen. Då kallas A en inverterbar matris och B kallas inversen till A och skrivs A−1. Det följer av definitionen att både A och A−1 är kvadratiska matriser av samma dimension n×n. En kvadratisk matris som inte är inverterbar kallas för en singulär matris.

Ekvivalenta egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Att en n × n-matris A är inverterbar är ekvivalent med att:

  • Determinanten av A är nollskild, det A ≠ 0.
  • A har rang n.
  • Ekvationen Ax = 0 endast har den triviala lösningen x = 0. Med andra ord, nollrummet består endast av nollvektorn.
  • Transponatet AT är inverterbart.
  • Talet 0 är inte ett egenvärde till A.

Analytisk lösning[redigera | redigera wikitext]

Transponering av en matris bestående av underdeterminanter (kofaktorer), kan vara ett effektivt sätt att beräkna inversen till små matriser, men denna rekursiva metod är ineffektiv för större matriser:

så att

dår |A| är A:s determinant, C är matrisen av underdeterminanter och CT representerar den transponerade matrisen.

Invertering av 2 × 2 matriser[redigera | redigera wikitext]

Invertering av dessa matriser kan göras enligt[1]

Detta är möjligt därför att 1/(adbc) är det reciproka värdet av determinanten till A (som antas vara nollskild) och samma strategi kan användas för andra matrisstorlekar.

Cayley–Hamiltons sats anger att

Invertering av 3 × 3 matriser[redigera | redigera wikitext]

En beräkningsmässigt effektiv metod för invertering av 3 × 3 matriser ges av

(där skalären A inte skall förväxlas med matrisen A). Om determinanten är nollskild är matrisen inverterbar, där skalärerna (A, B, ...) ges av

A:s determinant kan beräknas med hjälp av Sarrus regel:

Cayley–Hamilton-uppdelningen ger

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ Strang, Gilbert (2003). Introduction to linear algebra (3rd). SIAM. sid. 71. ISBN 0-9614088-9-8. https://books.google.com/books?id=Gv4pCVyoUVYC , Chapter 2, page 71