Harmoniska serien

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Den harmoniska serien är inom matematik den oändliga serien

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \ldots \, .

Serien är divergent[förtydliga]; dess summa är oändlig.

Bevis för divergens[redigera | redigera wikitext]

Det första beviset för att den harmoniska serien divergerar gavs av Nicolas Oresme (1320-1382). Oresme grupperade termerna som

1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right] + \left[\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{9}+\cdots\right.

och observerade att varje grupp är större än motsvarande grupp i serien

1 + \left[\frac{1}{2}\right] + \left[\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right] 
+ \left[\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right] + \left[\frac{1}{16}+\cdots\right.
 = 1 +\ \frac{1}{2}\ + \qquad\frac{1}{2} \ \quad+ \ \qquad\quad\frac{1}{2}\qquad\ \quad \ + \ \quad\ \cdots

som uppenbarligen divergerar.

Ett bevis som inte använder sig av Oresmes oändligt många grupperingar, men ändå tar vara på hans idé, är följande resonemang.

Om den harmoniska serien konvergerar så skall skillnaden mellan två godtyckliga delsummor H_m\, och H_n\, gå mot talet 0, då index n och m växer mot oändligheten oberoende av varandra.

Sekvensen \{H_n\}_{n=1}^\infty är då en så kallad Cauchy-följd. Varje konvergent sekvens är en Cauchy-följd, men det finns Cauchy-följder som inte konvergerar.

Skillnaden mellan delsummorna

H_m = 1+\frac{1}{2} + \cdots +\frac{1}{m}

och

H_n = 1+\frac{1}{2} + \cdots +\frac{1}{m}+ \cdots + \frac{1}{n}

är differensen

H_n - H_m = \frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2} + \cdots +\frac{1}{n}.

Denna differens är större än talet \frac{1}{2} om n \geq 2m :

\frac{1}{m+1}+\frac{1}{m+2} + \cdots +\frac{1}{n} \geq \underbrace{\frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \cdots \frac{1}{n}}_{n-m \quad termer} = 1 - \frac{m}{n} > \frac{1}{2}.

Detta visar att differensen H_n - H_m\, inte går mot noll då index n och m går mot oändligheten oberoende av varandra. Därför är den harmoniska serien divergent.

Den harmoniska serien kan även visas divergera med hjälp av Integraltestet. Motsvarande integral är

\int_1^\infty \frac{1}{x} \;dx = \left[ \ln x \right]_1^\infty = \infty

där ln betecknar den naturliga logaritmen.

Det faktum att den harmoniska serien är divergent låter oss dra slutsatsen att det finns så många divergenta serier att vi inte ens kan räkna upp dem! Det resultat som låter oss dra denna slutsats är det så kallade jämförelsekriteriet:

Om \{a_n\}_{n=1}^\infty och \{b_n\}_{n=1}^\infty är två sekvenser av positiva tal sådana att a_n \leq b_n\, för varje index n, så är serien \sum_{n=1}^\infty a_n konvergent om serien \sum_{n=1}^\infty b_n är konvergent, och serien \sum_{n=1}^\infty b_n är divergent om serien \sum_{n=1}^\infty a_n är divergent.

Låt \{a_n\}_{n=1}^\infty vara den harmoniska sekvensen

a_n = \frac{1}{n}

och \{b_n\}_{n=1}^\infty vara sekvensen b_n = \frac{1}{n^{1 -\varepsilon}}, där \varepsilon \in ]0,1[ är ett godtyckligt tal. Järförelsekriteriet låter oss dra slutsatsen att serien

\sum_{n=1}^\infty  \frac{1}{n^{1-\varepsilon}}

är divergent, eftersom den harmoniska serien är divergent. Detta gäller för varje val av talet \varepsilon \in ]0,1[ och eftersom det finns fler sådana tal \varepsilon än vad vi kan räkna upp (överuppräkneligt många), finns det fler divergenta serier än vad vi kan räkna upp.

Den harmoniska serien utgör ett exempel på att termer som går mot noll inte är ett tillräckligt villkor för att en serie ska vara konvergent.

Delsummor[redigera | redigera wikitext]

Den n-te delsumman

H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}

kallas för ett harmoniskt tal. De harmoniska talen är för n = 1, 2, 3, ... lika med

1, \; \frac{3}{2}, \; \frac{11}{6}, \; \frac{25}{12}, \; \frac{137}{60}, \; \frac{49}{20}, \; \frac{363}{140}, \; \frac{761}{280}, \; \frac{7129}{2520}, \; \frac{7381}{2520}, \ldots

Den harmoniska serien divergerar trots att delsummorna växer långsamt: exempelvis krävs 12367 termer innan summan överstiger 10, och cirka 1,509 × 1043 innan den överstiger 100.

Tillväxthastigheten för delsummorna är ungefär densamma som för den naturliga logaritmen. Skillnaden då n går mot oändligheten är ändlig och lika med talet

\gamma = \lim_{n\to\infty} \left[H_n - \ln n\right] \approx 0,5772156649

som kallas Eulers konstant.

Varianter[redigera | redigera wikitext]

Serien divergerar även om endast termer med primtal i nämnaren tas med:

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{p_k} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + \frac{1}{11} + \ldots = \infty,

där pk betecknar det k-te primtalet. Beviset, som är betydligt mer komplicerat än det för den vanliga harmoniska serien, gavs först av Leonhard Euler.

Euler visade även följande koppling mellan den harmoniska serien och primtalen; Ett resultat som gav upphov till det som vi idag kallar analytisk talteori:

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \prod_{p:p=primtal} \frac{1}{1-\frac{1}{p}}.

Det faktum att den harmoniska serien är divergent låter oss dra slutsatsen att det finns oändligt många primtal.

Om varje term i den harmoniska serien kvadreras fås däremot den konvergenta serien

\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{25} + \ldots = \frac{\pi^2}{6}.

Problemet att bestämma denna summa är känt som Baselproblemet, och även detta löstes av Euler. Om exponenten 2 ersätts med ett godtyckligt komplext tal uppkommer den så kallade Riemanns zetafunktion.

Den alternerande harmoniska serien

\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots

konvergerar mot den naturliga logaritmen av talet 2, \log  2; Anledningen till detta är att varje alternerande serie, vars termer går mot noll, konvergerar; Konvergensen mot just \log  2 kan bevisas genom att beräkna Taylorserien för den naturliga logaritmen.