Markovs olikhet

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Markovs olikhet är, inom sannolikhetsteorin, en uppskattning av en sannolikhet med hjälp av ett väntevärde:

Låt (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) vara ett sannolikhetsrum och X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R} en stokastisk variabel på detta rum. Om h : \mathbb{R} \longrightarrow [0,\infty) är en mätbar funktion så gäller, för varje tal \varepsilon > 0, följande uppskattning av sannolikheten \mathbb{P}\{h(X) \geq \varepsilon\}:

 \mathbb{P}\{h(X) \geq \varepsilon\} \leq
\frac{1}{\varepsilon}\mathbb{E}\{h(X)\}.


Bevis av Markovs olikhet[redigera | redigera wikitext]

Välj ett godtyckligt tal \varepsilon > 0 och definiera mängden

A = \{\omega \in \Omega : h(X(\omega)) \geq \varepsilon\} =
\{\omega \in \Omega : (h\circ X)(\omega) \in
[\varepsilon,\infty)\}.

Sannolikhetsmåttet \mathbb{P} är en mängdfunktion

\mathbb{P} : \mathcal{F} \longrightarrow [0,1]

sigma-algebran \mathcal{F}. För att vi skall kunna tala om sannolikheten för händelsen A, måste mängden A vara ett element i sigma-algebran \mathcal{F}. Den sista formuleringen av mängden A visar att vi kan skriva

A = (h\circ X)^{-1}([\varepsilon,\infty)) =
X^{-1}\left(h^{-1}([\varepsilon,\infty))\right).

Mängden M = h^{-1}([\varepsilon,\infty)) är ett element i Borel sigma-algebran \mathcal{B}_\mathbb{R}, eftersom funktionen

h : \mathbb{R} \longrightarrow [0,\infty)

är mätbar.

Den för oss intressanta mängden A kan uttryckas med hjälp av mängden M enligt:

A = X^{-1}(M).

Vi vet att

X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}

är en stokastisk variabel, det vill säga: den är en mätbar funktion. Detta innebär att mängden X^{-1}(M) är ett element i sigma-algebran \mathcal{F} och därmed är sannolikheten

\mathbb{P}\{A\} = \mathbb{P}\{X^{-1}(M)\}

definierad. Eftersom en sigma-algebra är sluten under komplement-bildning är mängden

A^c = \Omega \setminus A

också ett element i \mathcal{F}.

För att visa Markovs olikhet skriver vi den stokastiska variabeln h(X) som en summa av två stokastiska variabler, beroende på om h(X) är större än talet \varepsilon eller ej:

 h(X) = h(X)1_{A} + \underbrace{h(X)1_{A^c}}_{\geq
0},

där den andra termen är icke-negativ eftersom funktionen h endast antar icke-negativa värden.

Detta innebär att vi har olikheten

 h(X) \geq h(X)1_{A}.

På mängden A är den stokastiska variabeln h(X) större än, eller lika med, talet \varepsilon, vilket ger uppskattningen

 h(X)1_{A} \geq \varepsilon 1_{A}.

Genom att beräkna väntevärdena av de båda sidorna i olikheten

h(X) \geq \varepsilon 1_A

och utnyttja sambandet

\mathbb{E}\{1_A\}=\mathbb{P}(A),

fullbordas beviset av Markovs olikhet:

 \mathbb{E}\{h(X)\} \geq \mathbb{E}\{\varepsilon 1_A\} =
\varepsilon \mathbb{E}\{1_A\} = \varepsilon \mathbb{P}\{A\}.

Tillämpningar av Markovs olikhet[redigera | redigera wikitext]

Ofta är man intresserad av att uppskatta sannolikheter av typen \mathbb{P}\{\vert X \vert \geq \varepsilon\}.

Markovs olikhet kan då tillämpas med den mätbara funktionen h : \mathbb{R} \longrightarrow [0,\infty), definierad av

h(x) = \vert x \vert(absolutbeloppet av det reella talet x).

Olikheten ger den övre begränsningen

 \mathbb{P}\{\vert X \vert \geq \varepsilon\} \leq
\frac{1}{\varepsilon} \mathbb{E}\{\vert X \vert\}.

För att denna uppskattning skall vara meningsfull måste väntevärdet \mathbb{E}\{\vert X \vert\} vara ändligt: annars får man den oanvändbara olikheten \mathbb{P}\{\vert X \vert \geq \varepsilon\} \leq \infty.

Om man dessutom vet att väntevärdet \mathbb{E}\{X^2\} är ändligt kan man få en bättre uppskattning av sannolikheten \mathbb{P}\{\vert X \vert \geq \varepsilon\} genom att man kan dividera med talet \varepsilon^2 istället för med talet \varepsilon:

\mathbb{P}\{\vert X \vert \geq \varepsilon\} =
\mathbb{P}\{X^2 \geq \varepsilon^2\} \leq
\frac{1}{\varepsilon^2}\mathbb{E}\{X^2\};

Den första likheten kommer av att om x är ett reellt tal och a > 0, så gäller ekvivalensen

\vert x \vert > a \Longleftrightarrow x^2 > a^2.

Uppskattningen

\mathbb{P}\{\vert X \vert \geq \varepsilon\} \leq
\frac{1}{\varepsilon^2}\mathbb{E}\{X^2\}

går under namnet Чебышёв (Tjebyshov) olikhet, och är även den ofta använd vid uppskattning av sannolikheter.

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.