Transcendenta tal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett transcendent tal är ett (reellt) tal, som inte kan definieras som ett nollställe till ett ändligt polynom med rationella koefficienter. Vissa transcendenta tal kan i stället definieras som ett gränsvärde. Kända exempel är e och π. Motsatsen är ett algebraiskt tal. Däri ingår till exempel alla rationella tal, liksom alla rötter av rationella tal.[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10]

Oegentligt uttryckt är de transcendenta talen "fler" än de algebraiska (se kardinalitet), i den meningen att de algebraiska talen utgör en uppräkneligt oändlig mängd, medan det inte finns något sätt att räkna upp de transcendenta talen. Trots att det alltså finns "oändligt mycket fler" transcendenta tal än algebraiska tal känner man inte till särskilt många och det är mycket svårt att visa att ett tal är transcendent.

1873 visade Charles Hermite att e var ett transcendent tal, och 1882 gjorde Ferdinand von Lindemann, med utnyttjande av Hermites metoder, samma sak med talet π. År 1885 visade Karl Weierstrass att e^a är transcendent för varje algebraiskt tal a skilt från noll, och 1934 visade Aleksandr Gelfond att a^b är transcendent för alla de fall då uttrycket består av ett algebraiskt tal a skilt från 0 och 1, och b ett irrationellt algebraiskt tal. Det senare resultatet är känt som Gelfond–Schneiders sats.

Tal som har bevisats vara transcendenta[redigera | redigera wikitext]

2^\sqrt{2},
Gelfond–Schneiders konstant (eller Hilberttalet).

{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{6+\ddots}}}}}}
  • sin(a), cos(a) och tan(a) och deras inverser csc(a), sec(a) och cot(a) för alla algebraisk tal a som inte är noll (enligt Lindemann–Weierstrass sats).
  • ln(a) om a är algebraiskt och inte lika med 0 eller 1 (enligt Lindemann–Weierstrass sats).
  • W(a) om a är algebraiskt och inte lika med noll (enligt Lindemann–Weierstrass sats).
  • Γ(1/3),[11] Γ(1/4),[12] och Γ(1/6).[12]
  • 0.12345678910111213141516..., Champernownes konstant.[13][14]
  • Ω, Chaitins konstant.[15]
  • Fredholms tal[16][17]
\sum_{n=0}^\infty 2^{-2^n}
mer allmänt vilket som helst tal av formen
\sum_{n=0}^\infty \beta^{2^n}
med 0 < |β| < 1 och β algebraiskt.[18]
\sum_{n=1}^\infty 10^{-n!};
mer allmänt vilket som helst tal av formen
\sum_{n=1}^\infty \beta^{n!}
med 0 < |β| < 1 och β algebraiskt.
\sum_{k=0}^\infty 10^{-\left\lfloor \beta^{k} \right\rfloor};
där \beta\mapsto\lfloor \beta \rfloor är golvfunktionen.

Tal som man inte vet om de är transcendenta eller inte[redigera | redigera wikitext]

  • De flesta summorna, produkterna, potenserna etc. av π och e, exempelvis π + e, π − e, πe, π/e, ππ, ee, πe, π2, eπ2 som man inte ens vet om de är irrationella. Vissa undantag finns dock, π + eπ, πeπ och eπ√n (för alla positiva heltal n) som har bevisats vara transcendenta.[21][22]
  • Eulers konstant γ (som inte ens har bevisats vara irrationellt).
  • Catalans konstant, som man inte heller vet om den är irrationellt.
  • Apérys konstant ζ(3) (som Apéry bevisade att är irrationellt)
  • Riemanns zetafunktion vid andra udda positiva heltal ζ(5), ζ(7), ... (det är inte ens känt om dessa är irrationella.)
  • Feigenbaums konstanter δ och α.

Förmodanden:

Källor[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ David Hilbert, "Über die Transcendenz der Zahlen e und \pi", Mathematische Annalen 43:216–219 (1893).
  2. ^ A. O. Gelfond, Transcendental and Algebraic Numbers, Dover reprint (1960).
  3. ^ Baker, Alan (1975). Transcendental Number Theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-20461-5 
  4. ^ Mahler, Kurt (1976). Lectures on Transcendental Numbers. Lecture Notes in Mathematics. 546. Springer-Verlag. ISBN 3-540-07986-6 
  5. ^ Sprindzhuk, Vladimir G. (1979). Metric theory of Diophantine approximations. Scripta Series in Mathematics. John Wiley & Sons 
  6. ^ LeVeque, William J. (2002) [1956]. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42539-9 
  7. ^ Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-82332-6 
  8. ^ Burger, Edward B.; Tubbs, Robert (2004). Making transcendence transparent. An intuitive approach to classical transcendental number theory. New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 0-387-21444-5 
  9. ^ Peter M Higgins, "Number Story" Copernicus Books, 2008, ISBN 978-1-84800-001-8.
  10. ^ Bugeaud, Yann (2012). Distribution modulo one and Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics. 193. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11169-0 
  11. ^ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables (ISBN 2-7056-1407-9). Paris: Hermann, p. 46, 1979. via Wolfram Mathworld, Transcendental Number
  12. ^ [a b] Chudnovsky, G. V. (1984). Contributions to the Theory of Transcendental Numbers. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1500-8  via Wolfram Mathworld, Transcendental Number
  13. ^ K. Mahler (1937). ”Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen”. Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A. (40): sid. 421–428. 
  14. ^ Mahler (1976) p.12
  15. ^ Information and Randomness: An Algorithmic Perspective. Texts in Theoretical Computer Science (2nd rev. and ext.). Springer-Verlag. 2002. sid. 239. ISBN 3-540-43466-6 
  16. ^ Allouche & Shallit (2003) pp.385,403
  17. ^ Shallit, Jeffrey (1999). ”Number theory and formal languages”. i Hejhal, Dennis A.; Friedman, Joel; Gutzwiller, Martin C. m.fl.. Emerging applications of number theory. Based on the proceedings of the IMA summer program, Minneapolis, MN, USA, July 15--26, 1996. The IMA volumes in mathematics and its applications. 109. Springer-Verlag. sid. 547–570. ISBN 0-387-98824-6 
  18. ^ Loxton, J. H. (1988). ”13. Automata and transcendence”. i Baker, A.. New Advances in Transcendence Theory. Cambridge University Press. sid. 215–228. ISBN 0-521-33545-0 
  19. ^ Mahler, Kurt (1929). ”Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen”. Math. Annalen 101: sid. 342–366. doi:10.1007/bf01454845. 
  20. ^ Allouche & Shallit (2003) p.387
  21. ^ Weisstein, Eric W., "Irrational Number", MathWorld. (engelska)
  22. ^ Modular functions and transcendence questions, Yu. V. Nesterenko, Sbornik: Mathematics(1996), 187(9):1319

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.