Sigmafunktionen

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Sigmafunktionen är inom talteorin en aritmetisk funktion som definieras som summan av m-te potensen av alla delare till ett positivt heltal n:

\sigma_m(n) = \sum_{d|n}d^m

Sigmafunktionen är multiplikativ (men inte komplett multiplikativ) och kan därmed beräknas utifrån primfaktoriseringen av n som

\sigma_m(p_1^{a_1}...p_r^{a_r}) = \prod_{i=1}^r \frac{p_i^{m(a_i+1)} - 1}{p_i^m-1}

Genererande funktioner[redigera | redigera wikitext]

Dirichletserier innehållande sigmafunktionen är

\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s} = \zeta(s) \zeta(s-a),

som för a=0 blir

\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s} = \zeta^2(s),

och

\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n^2)}{n^s}= \frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-2a)}{\zeta(2s-2a)}


\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s) \zeta(s-a) \zeta(s-b) \zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)}.

En Lambertserie är

\sum_{n=1}^\infty q^n \sigma_a(n) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^a q^n}{1-q^n}.

Identiteter för sigmafunktionen[redigera | redigera wikitext]


\sigma_3(n) = \frac{1}{5}\left\{6n\sigma_1(n)-\sigma_1(n) + 12\sum_{0<k<n}\sigma_1(k)\sigma_1(n-k)\right\}.\;

\sigma_5(n) = \frac{1}{21}\left\{10(3n-1)\sigma_3(n)+\sigma_1(n) + 240\sum_{0<k<n}\sigma_1(k)\sigma_3(n-k)\right\}.\;

\begin{align}
\sigma_7(n)
&=\frac{1}{20}\left\{21(2n-1)\sigma_5(n)-\sigma_1(n) + 504\sum_{0<k<n}\sigma_1(k)\sigma_5(n-k)\right\}\\
&=\sigma_3(n) + 120\sum_{0<k<n}\sigma_3(k)\sigma_3(n-k).
\end{align}

\begin{align}
\sigma_9(n)
&= \frac{1}{11}\left\{10(3n-2)\sigma_7(n)+\sigma_1(n) + 480\sum_{0<k<n}\sigma_1(k)\sigma_7(n-k)\right\}\\
&= \frac{1}{11}\left\{21\sigma_5(n)-10\sigma_3(n) + 5040\sum_{0<k<n}\sigma_3(k)\sigma_5(n-k)\right\}.\;
\end{align}

\tau(n) = \frac{65}{756}\sigma_{11}(n) + \frac{691}{756}\sigma_{5}(n) - \frac{691}{3}\sum_{0<k<n}\sigma_5(k)\sigma_5(n-k),\;
    där τ(n) är Ramanujans taufunktion.

\sum_{\delta|n}d^{\;3}(\delta) = \left(\sum_{\delta|n}d(\delta)\right)^2 \;
d(uv) = \sum_{\delta\;|\gcd(u,v)}\mu(\delta)d\left(\frac{u}{\delta}\right)d\left(\frac{v}{\delta}\right) \;
\sigma_k(u)\sigma_k(v) = \sum_{\delta\;|\gcd(u,v)}\delta^k\sigma_k\left(\frac{uv}{\delta^2}\right) \;

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]