Akillestal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Akillestal är ett tal som är potensrikt men som inte är perfekt potens.[1] Ett positivt heltal n är potensrikt om, för varje primtalsfaktor p av n, p2 är en delare. Med andra ord har varje primfaktor minst en kvadrat i faktorisering. Alla Akillestal är potensrika, men alla potensrika tal är inte Akillestal: endast de som inte kan representeras som mk, där n och k är positiva heltal större än 1.

Akillestal är uppkallade efter Akilles, en hjälte i trojanska kriget, som var kraftfull (från engelskans powerful som är detsamma som potensrik) men imperfekt.

Talföljd av Akillestal[redigera | redigera wikitext]

Ett tal n = p1a1p2a2pkak är potensrikt om min(a1, a2, …, ak) ≥ 2. Om därutöver gcd(a1, a2, …, ak) = 1 så är det ett Akillestal.

De första Akillestalen är:

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 1125, 1152, 1323, 1352, 1372, 1568, 1800, 1944, 2000, 2312, 2592, 2700, 2888, 3087, 3200, 3267, 3456, 3528, 3872, 3888, 4000, 4232, 4500, 4563, 4608, 5000, 5292, 5324, 5400, 5408, 5488 … (talföljd A052486 i OEIS)

De minsta två på varandra följande Akillestalen är:[2]

5425069447 = 73 × 412 × 972
5425069448 = 23 × 260412

Exempel[redigera | redigera wikitext]

108 är ett potensrikt tal. Dess primfaktorisering är 22 · 33, och därmed är primtalsfaktorerna 2 och 3. Både 22 = 4 och 32 = 9 är delare av 108. Dock kan 108 inte representeras som mk, där m och k är positiva heltal större än 1, så 108 är ett Akillestal.

784 är inte ett Akillestal. Det är ett potensrikt tal, eftersom inte bara 2 och 7 är dess primtalsfaktorer, men även 22 = 4 och 72 = 49 är delare av 784. Ändå är det en prefekt potens:

784=2^4 \cdot 7^2 = (2^2)^2 \cdot 7^2 = (2^2 \cdot 7)^2 = 28^2. \,

Så det är inte ett Akillestal.

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Achilles number, 18 oktober 2013.
  1. ^ Weisstein, Eric W., "Achilles Number", MathWorld. (engelska)
  2. ^ Carlos Rivera, The Prime Puzzles and Problem Connection, Problem 53