Perfekt tal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett perfekt tal eller fullkomligt tal[1] är inom talteorin ett heltal n för vilket summan av alla sina positiva delare, inklusive n självt, är lika med 2n. Detta är även detsamma som att ett tal n är lika med summan av alla sina delare förutom sig självt.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Om ett tal p är ett perfekt tal gäller följande:

\sum_{k|p,\ 1\le k<p} k = p

Exempel[redigera | redigera wikitext]

6 är ett perfekt tal eftersom det är jämnt delbart med 1, 2 och 3 och summan av dessa är just 6.

De tio första perfekta talen är (talföljd A000396 i OEIS):

  • 6 = 1 + 2 + 3
  • 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
  • 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
  • 8 128
  • 33 550 336
  • 8 589 869 056
  • 137 438 691 328
  • 2 305 843 008 139 952 128
  • 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176
  • 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216

För en mer komplett lista, se Lista över perfekta tal.

Som framgår ovan växer storleken på de perfekta talen mycket snabbt – de är alltså sällsynta bland mängden av tal. År 2001 var endast 39 perfekta tal kända, där det största har över 8 miljoner siffror. Tolv år senare, 2013, har antalet kända perfekta tal vuxit till 48. Det är dock inte känt om det finns fler perfekta tal som är större än det 42:a, men mindre än det största perfekta tal man hittat, så de senare talens plats är inte definitiva.[2]

Jämna perfekta tal[redigera | redigera wikitext]

Alla perfekta tal man känner till är jämna. Euklides bevisade att om 2n - 1 är ett primtal, så är 2n-1(2n - 1) ett perfekt tal. Två tusen år senare bevisade Euler att dessa är de enda jämna perfekta tal som existerar.

Primtal på formen 2n - 1 kallas Mersenneprimtal, så varje Mersenneprimtal man upptäcker ger oss omedelbart ett nytt perfekt tal.

Udda perfekta tal[redigera | redigera wikitext]

En hittills obesvarad fråga är om det existerar några udda perfekta tal. Man vet att om det finns sådana, så har de bland annat följande egenskaper:

  • Storlek
    • Är större än 101500[3]
    • Är mindre än 24k, där k är antalet olika primfaktorer[4]
    • Innehåller åtminstone en primtalspotens pe större än 1062[3]
  • Form
    • Kan skrivas på formen (4n + 1)4λ + 1PP, där P är udda och 4n + 1 ett primtal (Euler)[5]
    • Kan skrivas på formen 12n + 1, 468n + 117 eller 324n + 81[6]
  • Faktorer
    • Har åtminstone 101 primtalsfaktorer, varav minst 9 är olika[3]
    • Har minst 12 olika primfaktorer om inte 3 är en av dem[7]
    • Innehåller primfaktorer större än 108,[8] 104[9] respektive 100[10]
    • Innehåller åtminstone en primfaktor mindre än (2k + 6) / 3, där k är antalet olika primfaktorer
    • Är inte delbart med 105[11]

Andra resultat[redigera | redigera wikitext]

  • 28 är det enda jämna perfekta talet som kan skrivas som summan av två positiva heltalskuber (Gallardo 2010).
  • Summan av reciprokerna av delarna av ett perfekt tal N är alltid 2.
  • Antalet delare av ett perfekt tal N (jämnt eller udda) är alltid jämnt, eftersom N inte kan vara en kvadrat.
  • Jämna perfekta tal är inte trapetstal, dett vill säga de kan inte skrivas som differensen av två positiva triangeltal som inte kommer efter varandra.
  • Antalet perfekta tal mindre än n är o(\sqrt{n}).
  • Alla kända jämna perfekta tal slutar med 6 eller 28 i bas 10.

Olösta problem[redigera | redigera wikitext]

Det finns flera olösta gåtor angående de perfekta talen:

  • Man vet inte om det finns oändligt många perfekta tal.
  • Hittills har alla perfekta tal man hittat slutat på 6 eller 28 (se uppställningen ovan). Men ingen har lyckats visa om alla perfekta tal gör det.
  • Hittills har man inte lyckats hitta något udda perfekt tal. Men det är inte bevisat att det inte finns några sådana.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ ”fullkomligt tal”. Nationalencyklopedin (NE). http://www.ne.se/fullkomligt-tal?i_h_word=2p. Läst 13 december 2013. 
  2. ^ ”GIMPS Milestones Report”. http://www.mersenne.org/report_milestones/. Läst 2013-02-06. 
  3. ^ [a b c] ”Odd perfect numbers are greater than 101500. http://www.lirmm.fr/~ochem/opn/opn.pdf. Läst 2012-06-27. 
  4. ^ ”An Upper Bound for Odd Perfect Numbers”. http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/d14/d14.pdf. Läst 2012-06-27. 
  5. ^ ”How Euler Did It”. Arkiverad från originalet den 2008-01-07. http://web.archive.org/web/20080107002001/http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2037%20Odd%20perfect%20numbers%5B1%5D.pdf. Läst 2012-06-27. 
  6. ^ ”On the Form of an Odd Perfect Number”. http://www.austms.org.au/Gazette/2008/Sep08/CommsRoberts.pdf. Läst 2012-06-27. 
  7. ^ ”Odd Perfect Numbers Have At Least Nine Distinct Prime Factors”. http://math.byu.edu/~pace/NotEight_web.pdf. Läst 2012-06-27. 
  8. ^ ”Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108. http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/tg/perfect/perfect.pdf. Läst 2012-06-27. 
  9. ^ ”The Second Largest Prime Divisor of an Odd Perfect Number Exceeds Ten Thousand”. http://www.ams.org/journals/mcom/1999-68-228/S0025-5718-99-01126-6/S0025-5718-99-01126-6.pdf. Läst 2012-06-27. 
  10. ^ ”The Third Largest Prime Divisor of an Odd Perfect Number Exceeds One Hundred”. http://www.ams.org/journals/mcom/2000-69-230/S0025-5718-99-01127-8/S0025-5718-99-01127-8.pdf. Läst 2012-06-27. 
  11. ^ ”Problem Of The Month”. http://www.fen.bilkent.edu.tr/~cvmath/Problem/0610a.pdf. Läst 2012-06-27. 
  • Euclid, Elements, Book IX, Proposition 36. See D.E. Joyce's website for a translation and discussion of this proposition and its proof.
  • H.-J. Kanold, "Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 183 (1941), pp. 98–109.
  • R. Steuerwald, "Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl", S.-B. Bayer. Akad. Wiss., 1937, pp. 69–72.

Vidare läsning[redigera | redigera wikitext]

  • Nankar, M.L.: "History of perfect numbers," Ganita Bharati 1, no. 1–2 (1979), 7–8.
  • Hagis, P.: "A Lower Bound for the set of odd Perfect Prime Numbers", Mathematics of Computation 27, (1973), 951–953.
  • Riele, H.J.J. "Perfect Numbers and Aliquot Sequences" in H.W. Lenstra and R. Tijdeman (eds.): Computational Methods in Number Theory, Vol. 154, Amsterdam, 1982, pp. 141–157.
  • Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorisation, Birkhauser, 1985.
  • Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. sid. 15–98. ISBN 1-4020-2546-7 

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.