Z-transform

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Z-transformen transformerar en tidsdiskret signal, det vill säga en serie reella tal, till den komplexa frekvensdomänen.

Z-transformen motsvaras i den tidskontinuerliga domänen av Laplace-transformen.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Z-transformen av en signal x(n) är funktionen X(z) som definieras som

\mathcal{Z}(\{x(n)\}) = X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}

där n är ett heltal och z är ett komplext tal.

Om man endast är intresserad av x(n) för icke-negativa värden på n kan man använda följande definition på Z-transformen:

\mathcal{Z}(\{x(n)\}) = X(z) = \sum_{n=0}^{\infty}x(n)z^{-n}

Den senare kallas ibland för den enkelsidiga Z-transformen, och den förra för dubbelsidig. Inom signalbehandling används den enkelsidiga då man vet att signalen är kausal.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • Linearitet. Z-transformen av en linjär kombination av två signaler är lika med den linjära kombinationen av de två individuella Z-transformerna.
\mathcal{Z}(\{a_1 x_1(n) + a_2 x_2(n)\}) = a_1 \mathcal{Z}(\{x_1(n)\}) + a_2 \mathcal{Z}(\{x_2(n)\})
  • Tidsförskjutning. Tidsförskjutning av signalen med k steg är detsamma som att multiplicera Z-transformen med z^{-k}.
\mathcal{Z}(\{x(n-k)\}) = z^{-k}\mathcal{Z}(\{x(n)\})
  • Faltning. Z-transformen av faltningen av två sekvenser är produkten av de två individuella Z-transformerna.
\mathcal{Z}(\{x(n)\}*\{y(n)\}) = \mathcal{Z}(\{x(n)\})\mathcal{Z}(\{y(n)\})
  • Derivering.
\mathcal{Z}(\{nx(n)\}) = -z {{d\mathcal{Z}(\{x(n)\})} \over dz}

Den inversa Z-transformen kan beräknas som:

x(n)=\frac{1}{2\pi i}\oint_CX(z)z^{n-1}\,dz

där C är en sluten kurva kring origo som ligger innanför X(z):s konvergensradie.

Den diskreta Fourier-transformen är ett specialfall av Z-transformen med z = e^{j\omega}.

Tillämpningar[redigera | redigera wikitext]

Z-transformen kan användas för att lösa vissa differensekvationer. En differensekvation på formen

\sum_{k = 0}^l a_kx(n - k) = b

där a1, ..., al, b är konstanter, kan, om man antar att Z-transformen av x är X, transformeras till

\sum_{k = 0}^l a_kz^{-k}X(z) = \frac{bz}{z-1}

som man sedan kan bryta ut X ur:

X(z) = \frac{bz}{(1-z)\sum_{k = 0}^l a_kz^{-k}}.

Detta uttryck kan sedan inverstransformeras medelst exempelvis partialbråksuppdelning och tabell eller residykalkyl för att erhålla x.

Se även[redigera | redigera wikitext]