Tjebysjovpolynom

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Chebyshevpolynom)
Hoppa till: navigering, sök

Tjebysjovpolynomen är en serie ortogonala polynom uppkallade efter Pafnutij Tjebysjov.

Definition[redigera | redigera wikitext]

Tjebysjovpolynomen av första ordningen definieras med hjälp av differensekvationen

De kan även definieras trigonometriskt som

Deras genererande funktion är

Den exponentiella genererande funktionen är

En annan genererande funktion är

Tjebysjovpolynomen av andra ordningen definieras med hjälp av differensekvationen

Deras genererande funktion är

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

För varje icke-negativt heltal n är Tn(x) och Un(x) polynom av grad n.

Flera polynom, såsom Lucaspolynomen (Ln), Dicksonpolynomen (Dn) och Fibonaccipolynomen (Fn) är relaterade till Tjebysjovpolynomen.

Tjebysjovpolynomen av första ordningen satisfierar relationen

En analog identitet för Tjebysjovpolynomen av andra ordningen är

En formel analogisk till

är

.

För är

and

som följer ur definitionen genom att låta .

Låt

då är


Ortogonalitet[redigera | redigera wikitext]

Relationer mellan Tjebysjovpolynom av första och andra ordningen[redigera | redigera wikitext]

Följande relationer gäller mellan Tjebysjovpolynomen av första och andra ordningen:

, där n är udda.
, där n är jämnt.

Explicita uttryck[redigera | redigera wikitext]

Det finns ett flertal olika explicita uttryck för Tjebysjovpolynomen:



där är hypergeometriska funktionen.

Relation till andra funktioner[redigera | redigera wikitext]

Tjebysjovpolynomen är ett specialfall av Gegenbauerpolynomen, som igen är ett specialfall av Jacobipolynomen:

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Chebyshev polynomials, 5 december 2013.