Legendrepolynom

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
De första fem legendrepolynomerna

Legendrepolynom är inom matematik en speciell sorts polynom. Det l:te Legendrepolynomet Pl kan fås genom Taylorutvecklingen:

Vänsterledet expanderas med koefficienter i form av Legendrepolynom, varav några termer i högerledet kan användas som dess approximation. Eftersom y < 1 används inom fysiken endast de första tre termerna: dessa motsvarar monopol (laddning), dipol och kvadrupol.

Polynomen kan även fås som lösningar till Legendres differentialekvation:

Polynomen kan genereras från följande rekursiva relation:

P0(x) = 1
P1(x) = x
P2(x) = (1/2)(3x2 - 1)
(l + 1)Pl+1(x) = (2l + 1)xPl(x) -lPl - 1(x),

En annan härledning kan fås genom att applicera Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess på polynomen 1, x, x2, ... med avseende på den inre produkten i L2 över intervallet -1 < x < 1. Legendrepolynomen är alltså ortogonala med avseende på den inre produkten i L2(-1,1):

Legendrepolynomen används bl.a. inom elektrostatik som bas för multipolutveckling av potentialen.

Explicit uttryck[redigera | redigera wikitext]

Rodirguesformel[redigera | redigera wikitext]

Integralrepresentation[redigera | redigera wikitext]

För alla gäller

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.