Inom matematiken är Jacobipolynomen en viktig klass ortogonala polynom. De introducerades av Carl Gustav Jacob Jacobi. Flera andra ortogonala polynom är specialfall av dem, däribland Gegenbauerpolynomen, Legendrepolynomen, Zernikepolynomen samt Tjebysjovpolynomen.
Jacobipolynomen kan definieras via hypergeometriska funktionen enligt

där
är Pochhammersymbolen. Ett ekvivalent uttyck är

En alternativ definition ges av Rodirgues formel


![{\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {1}{2}}\left[2(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2)(z-1)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a95e6198603c0eb110abde34809dcd787796025)
![{\displaystyle P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {1}{8}}\left[4(\alpha +1)(\alpha +2)+4(\alpha +\beta +3)(\alpha +2)(z-1)+(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)(z-1)^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44cf56154dd63ffe05a063e6733b2e8100cad972)
Jacobipolynomen satisfierar ortogonalitetsrelationen

för α, β > −1.
Jacobipolynomen satisfierar symmetrirelationen

Jacobipolynomens kte derivata ges av

Jacobipolynomet Pn(α, β) är en lösning av andra ordningens linjära homogena differentialekvation

Jacobipolynomen satisfierar differensekvationen

för n = 2, 3, ....
Jacobipolynomens genererande funktion ges av

där



Jacobipolynomen satisfierar
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos {\frac {z}{n}}\right)&=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)~\\\lim _{n\to \infty }n^{-\beta }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left[\pi -{\frac {z}{n}}\right]\right)&=\left({\frac {z}{2}}\right)^{-\beta }J_{\beta }(z)~\end{aligned}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fb4579ac22055f383d83e2bf6d4b24e7f215aab)
En annan formel är
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )={\frac {\cos \left(\left[n+(\alpha +\beta +1)/2\right]\theta -\left[2\alpha +1\right]\pi /4\right)}{{\sqrt {\pi n}}\left[\sin(\theta /2)\right]^{\alpha +1/2}\left[\cos(\theta /2)\right]^{\beta +1/2}}}+{\mathcal {O}}\left(n^{-3/2}\right),~~~0<\theta <\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfbdc9975955211fd6a45f99cf645ae262f42a68)
- Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Jacobi polynomials, 4 december 2013.
Speciella funktioner |
---|
| Gamma- och relaterade funktioner | | | Zeta- och L-funktioner | | | Besselfunktioner och relaterade funktioner | | | Elliptiska funktioner och thetafunktioner | | | Hypergeometriska funktioner | | | Ortogonala polynom | | | Andra funktioner | |
|