Jacobipolynom

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Jacobipolynomen en viktig klass ortogonala polynom. De introducerades av Carl Gustav Jacob Jacobi. Flera andra ortogonala polynom är specialfall av dem, däribland Gegenbauerpolynomen, Legendrepolynomen, Zernikepolynomen samt Tjebysjovpolynomen.

Definitioner[redigera | redigera wikitext]

Med hjälp av hypergeometriska funktionen[redigera | redigera wikitext]

Jacobipolynomen kan definieras via hypergeometriska funktionen enligt

där är Pochhammersymbolen. Ett ekvivalent uttyck är

Rodrigues formel[redigera | redigera wikitext]

En alternativ definition ges av Rodirgues formel

Explicita uttryck för de första Jacobipolynomen[redigera | redigera wikitext]

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Ortogonalitet[redigera | redigera wikitext]

Jacobipolynomen satisfierar ortogonalitetsrelationen

för α, β > −1.

Symmetrirelation[redigera | redigera wikitext]

Jacobipolynomen satisfierar symmetrirelationen

Derivator[redigera | redigera wikitext]

Jacobipolynomens kte derivata ges av

Differentialekvation[redigera | redigera wikitext]

Jacobipolynomet Pn(α, β) är en lösning av andra ordningens linjära homogena differentialekvation

Differensekvation[redigera | redigera wikitext]

Jacobipolynomen satisfierar differensekvationen

för n = 2, 3, ....

Generenade funktion[redigera | redigera wikitext]

Jacobipolynomens genererande funktion ges av

där

Speciella värden[redigera | redigera wikitext]

Tillväxt[redigera | redigera wikitext]

Jacobipolynomen satisfierar

En annan formel är

Se även[redigera | redigera wikitext]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Jacobi polynomials, 4 december 2013.
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.