Gegenbauerpolynom

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom matematiken är Gegenbauerpolynomen eller ultrasfäriska polynomen C(α)n(x) en serie ortogonala polynom. De generaliserar Legendrepolynomen och Chebyshevpolynomen, och är specialfall av Jacobipolynomen. De är uppkallade efter Leopold Gegenbauer.

Karakteriseringar[redigera | redigera wikitext]

Det finns ett flertal karakteriseringar av Gegenbauerpolynomen.

\frac{1}{(1-2xt+t^2)^\alpha}=\sum_{n=0}^\infty C_n^{(\alpha)}(x) t^n.

\begin{align}
C_0^\alpha(x) & = 1 \\
C_1^\alpha(x) & = 2 \alpha x \\
C_n^\alpha(x) & = \frac{1}{n}[2x(n+\alpha-1)C_{n-1}^\alpha(x) - (n+2\alpha-2)C_{n-2}^\alpha(x)].
\end{align}
(1-x^{2})y''-(2\alpha+1)xy'+n(n+2\alpha)y=0.\,
α = 1/2 reducerar sig ekvationen till Legendres ekvation, och Gegenbauerpolynomen reducerar sig till Legendrepolynomen.
C_n^{(\alpha)}(z)=\frac{(2\alpha)_n}{n!}
\,_2F_1\left(-n,2\alpha+n;\alpha+\frac{1}{2};\frac{1-z}{2}\right).
Utskrivet lyder formeln

C_n^{(\alpha)}(z)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^k\frac{\Gamma(n-k+\alpha)}{\Gamma(\alpha)k!(n-2k)!}(2z)^{n-2k}.
C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{(2\alpha)_n}{(\alpha+\frac{1}{2})_{n}}P_n^{(\alpha-1/2,\alpha-1/2)}(x).
där (\theta)_n är Pochhammersymbolen.
Av det följer Rodrigues formel:
C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{(-2)^n}{n!}\frac{\Gamma(n+\alpha)\Gamma(n+2\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(2n+2\alpha)}(1-x^2)^{-\alpha+1/2}\frac{d^n}{dx^n}\left[(1-x^2)^{n+\alpha-1/2}\right].

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

Askey–Gaspers olikhet för Gegenbauerpolynomen är

\sum_{j=0}^n\frac{C_j^\alpha(x)}{{2\alpha+j-1\choose j}}\ge 0\qquad (x\ge-1,\, \alpha\ge 1/4).

Se även[redigera | redigera wikitext]


Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Gegenbauer polynomials, 8 december 2013.