Formler för primtal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Inom talteori är en formel för primtal en formel som producerar bara primtal och inga andra tal. Ett flertal såna är kända, men ingen av dem är effektiv för uträkning av primtal.

Polynom[redigera | redigera wikitext]

Inget icke-konstant polynom kan producera enbart primtal. Euler upptäckte år 1772 att polynomet

P(n) = n2n + 41

är ett primtal för alla positiva heltal mindre än 41.

Ett resultat för linjära polynom är föjande:

43142746595714191 + 5283234035979900n är ett primtal för alla n från 0 till 25 (Andersen 2010).

Formel baserad på ett system av Diofantiska ekvationer[redigera | redigera wikitext]

Ett system av 14 Diofantiska ekvationer i 26 variabler kan användas för att definiera primtalen. Ett tal k + 2 är ett primatal om och bara omföljande system av 14 Diofantiska ekvatoioner har en lösning ionm de naturliga talen:

α0 =  wz + h + j - q = 0
α1 =  (gk + 2g + k + 1)(h + j) + h - z = 0
α2 =  16(k + 1)^3(k + 2)(n + 1)^2 + 1 - f^2 = 0
α3 =  2n + p + q + z - e = 0
α4 =  e^3(e + 2)(a + 1)^2 + 1 - o^2 = 0
α5 =  (a^2 - 1)y^2 + 1 - x^2 = 0
α6 =  16r^2y^4(a^2 - 1) + 1 - u^2 = 0
α7 =  n + l + v - y = 0
α8 =  (a^2 - 1)l^2 + 1 - m^2 = 0
α9 =  ai + k + 1 - l - i = 0
α10 =  ((a + u^2(u^2 - a))^2 - 1)(n + 4dy)^2 + 1 - (x + cu)^2 = 0
α11 =  p + l(a - n - 1) + b(2an + 2a - n^2 - 2n - 2) - m = 0
α12 =  q + y(a - p - 1) + s(2ap + 2a - p^2 - 2p - 2) - x = 0
α13 =  z + pl(a - p) + t(2ap - p^2 - 1) - pm = 0.


Mills formel[redigera | redigera wikitext]

W. H. Mills bevisade 1947 att det finns ett reellt tal A så att

\lfloor A^{3^{n}}\;\rfloor

är ett primtal för alla positiva heltal n.

Differensekvation[redigera | redigera wikitext]

Definiera

 a_n = a_{n-1} + \operatorname{sgd}(n,a_{n-1}), \quad a_1 = 7.

Då innehåller serien an + 1an bara ettor och primtal. Serien börjar 1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1 (talföljd A132199 i OEIS).

Övrigt[redigera | redigera wikitext]

p_n = 1 + \sum_{k=1}^{2([ n \ln(n)]+1)} \left(1 - \left[{\pi(k) \over n} \right]\right).


Referenser[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Formula for primes, 21 november 2013.