Wieferichprimtal

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett Wieferichprimtal är ett primtal p med egenskapen att 2p-1-1 är delbart med p2. (Jämför med Fermats lilla sats, som säger att 2p-1-1 är delbart med p för alla udda primtal p.) Wieferichprimtal beskrevs först av Arthur Wieferich 1909. Endast två Wieferichprimtal är kända, nämligen 1093 och 3511.

Samband med Fermats stora sats[redigera | redigera wikitext]

Följande samband mellan Wieferichprimtal och Fermats stora sats bevisades av Wieferich 1909:

Låt p vara ett primtal och låt x, y och z vara heltal sådana att xp + yp + zp = 0. Antag att produkten xyz inte är delbar med p. Då är p ett Wieferichprimtal.

Samband mellan abc-hypotesen och icke-Wieferichprimtal[redigera | redigera wikitext]

Ett icke-Wieferichprimtal är ett primtal p som uppfyller 2p − 1 ≢ 1 (mod p2). Joseph H. Silverman bevisade 1988 att om abc-hypotesen är sann finns det oändligt många icke-Wieferichprimtal. Mer precist bevisade han att det följer av abc-hypotesen att det existerar en konstant som beror enbart på α så att antalet icke-Wieferichprimtal i bas α (det vill säga primtal p sådana att αp − 1 ≢ 1 (mod p2)) med p≤x är större än log(x) då x går mot oändligheten. Senare har det visats att existensen av oändligt många icke-Wieferichprimtal följer av en svagare version av abc-hypotesen känd som ABC-(k, ε)-hypotesen. Existensen av oändligt många icke-Wieferichprimtal skulle även följa av existensen av oändligt många kvadratfria Mersennetal. Ännu en obevisad sats av vilken existensen av oändligt många icke-Wieferichprimtal skulle följa är följande: det finns ett reellt tal ξ så att mängden {nN : λ(2n − 1) < 2 − ξ} har densitet ett, där \tfrac{\log n}{\log \gamma (n)} och \gamma (n) = \prod_{p \mid n} p är radikalen av n.