Fermatprimtal

Fermatprimtal, uppkallade efter Pierre de Fermat, som först studerade dem, är primtal som kan skrivas på formen:

$F_{n}=2^{2^{n}}+1$

där n är ett naturligt tal. Det finns endast fem kända Fermatprimtal: 3, 5, 17, 257 och 65537, vilka fås då n är 0, 1, 2, 3 respektive 4. Det är inte känt om det finns oändligt många Fermatprimtal.

Carl Friedrich Gauss bevisade att det finns ett förhållande mellan konstruktionen av regelbundna månghörningar och Fermatprimtal: en regelbunden n-polygon kan konstrueras med passare och linjal om och endast om n är en potens av 2 eller produkten av en potens av 2 och distinkta Fermatprimtal.

Fermat förmodade att alla Fermattal var primtal, men Leonhard Euler visade 1732 att $F_{5}$ inte är ett primtal.

$F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4~294~967~297=641\cdot 6~700~417.$

Se även

• Mersenneprimtal