Jordanmått

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Ett Jordanmått är inom matematik en förlängning av begreppet storlek (längd, area och volym) till mer komplicerade former. Jordanmåttet är bra för praktiska tillämpningar, men för teoretiska tillämpningar det är onödigt eftersom Jordanmåttet inte är ett mått. Å andra sidan man kan utvidga Jordanmåttet till ett mått som kallas Lebesguemåttet.

Jordanmåttet är uppkallat efter den franske matematikern Camille Jordan.

Enkla mängder[redigera | redigera wikitext]

En enkel mängd: summan av (eventuellt överlappande) rektanglar.
Samma mängd som ovan, uppdelad i icke överlappande rektanglar.

Om  C är en delmängd till  \mathbb{R}^n på formen:

 C = [a_1, b_1[ \times [a_2, b_2[ \times ... \times [a_n, b_n[

det vill säga, den kartesiska produkten av ett antal halvöppna intervall. En sådan mängd  C kallas för en n-dimensionell rektangel, eller endast rektangel. Jordanmåttet av en rektangel definieras till att vara_

 m(C) = \prod_{k=1}^n (b_k-a_k) = (b_1-a_1)(b_2-a_2)...(b_n-a_n).

Man konstruerar sedan så kallade enkla mängder, som unionen av rektanglar:

 S = C_1 \cup C_2 \cup .. \cup C_m

man kan inte definiera måttet av enkla mängder som summan av måtten för rektanglarna eftersom rektanglarna kan överlappa. Dock kan varje mängd  S på ovanstående form skrivas om till en ändlig union av disjunkta rektanglar på formen för  C , det vill säga som kartesiska produkter av halvöppna intervall, och måttet av mängden är lika med summan av dessa rektanglars mått.

Komplicerade mängder[redigera | redigera wikitext]

Det finns gott om mängder som inte är enkla, exempelvis sfärer. För Jordanmåttet ska vara definierat på en begränsad mängd som inte är enkel, krävs det att mängden kan approximeras tillräckligt bra med enkla mängder, på liknande sätt som funktioner approximeras med under- och övertrappor i Riemannintegralen.

För en icke-enkel mängd  B definierar man det inre Jordanmåttet:

 m_*(B) = \sup_{S \subset B} m(S)

och det yttre Jordanmåttet:

 m^*(B) = \inf_{S \supset B} m(S)

där infimum och supremum tas över de enkla mängder som täcker respektive täcks av mängden  B .

Man säger att mängden  B är Jordanmätbar om

 m_*(B) = m^*(B) \,

det vill säga, om det inre och yttre måttet är samma.

Det visar sig att alla rektanglar, simplexer och sfärer är Jordanmätbara. Punkterna som ligger mellan två kontinuerliga funktioners grafer är Jordanmätbar om mängden är begränsad och funktionernas gemensamma definitionsmängd är Jordanmätbar.

Jordanmåttet är inte ett mått[redigera | redigera wikitext]

Ett mått är definierad över en sigma-algebra vars element kallas mätbara mängder. Men Jordanmätbara mängder utgör inte en sigma-algebra. Till exempel, om

A_q := \{q\}\,

för q \in \Q så är

m_* (A_q) = 0 = m^* (A_q)\, ,

dvs A_q\, är Jordanmätbar för alla q \in \Q. Å andra sidan, om

A := \bigcup_{q \in \Q} \{q\}\,

så är

m_* (A) = 0 <\infty = m^* (A)\, ,

dvs A\, är en icke-Jordanmätbar mängd. Å andra sidan är en sigma-algebra sluten under uppräkneliga unioner men A\, är en uppräknelig union av Jordanmätbara mängder. Alltså bildar alla Jordanmätbara mängder inte en sigma-algebra.

Lebesguemått[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Lebesguemått

Man kan utvidga Jordanmåttet till ett mått som kallas Lebesguemåttet. Om en mängd B är Jordanmätbar så är Jordanmåttet

m^*(B) = m_* (B) = \mathcal{L}_n (B)

dvs Jordanmåttet sammanfaller med Lebesguemåttet.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.