Brahmaguptas formel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Brahmaguptas formel beskriver ett samband mellan arean för en godtycklig cyklisk fyrhörning (en fyrhörning som kan skrivas in i en cirkel) och dess sidor. Formeln formulerades ursprungligen av den indiska matematikern Brahmagupta under 600-talet, dock utan bevis.[1] Formeln har sedan bevisats på flera olika sätt av olika matematiker. [1]

Formel[redigera | redigera wikitext]

Brahmaguptas formel för en cyklisk fyrhörning med arean A och sidorna a, b, c, d skrivs vanligen

där

är semiperimetern (halva omkretsen).

Formeln kan dock skrivas utan semiperimetern på ekvivalent form

Vilket även kan skrivas

Ett liknande samband existerar för en godtycklig triangel (alla trianglar är cykliska) som kallas Herons formel. Genom att låta en av sidorna i en fyrhörning vara noll bildas en triangel. Sätts en av sidorna till noll i Brahmaguptas formel erhålls Herons formel. Brahmaguptas formel kan ses som en generalisering av Herons formel.[1]

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Bevis med trigonometriska samband[redigera | redigera wikitext]

En cyklisk fyrhörning inskriven i en cirkel med beteckningar för hörn, sidor och vinklar

I beviset används beteckningar från figuren till höger.

Den cykliska fyrhörningen ABCD kan delas upp i två trianglar, ABD och BDC, vars areor enligt areasatsen ges av

Alltså ges den cykliska fyrhörningens area, A, av

Eftersom fyrhörningen är cyklisk gäller , vilket enligt en trigonometrisk identitet medför att . Alltså gäller

Kvadrering av båda led ger

Detta kan med hjälp av trigonometriska ettan skrivas

Trianglarna ABD och BDC har en gemensam sida DB. Enligt cosinussatsen gäller

Dessa likheter ger sambandet

Eftersom gäller enligt en trigonometrisk identitet att , vilket ger sambandet

Vilket kan skrivas som

Faktorisering i högerledet ger

Kvadrering av båda led följt av division med 4 ger

Ovanstående samband insatt i ger

Multiplikation med 4 ger

Högerledet kan med hjälp av konjugatregeln skrivas

Utveckling av de inre parenteserna ger

Vilken enligt kvadreringsregler kan skrivas

Vilket enligt konjugatregeln kan skrivas

Genom att subtrahera och addera termen med negativt tecken i varje faktor i högerledet fås

Genom att bryta ut 2 ur varje faktor i högerledet fås

Division med 16 ger

Introduceras nu semiperimetern, , erhålls

Roten ur ger slutligen

V.S.B.

Bevis utan trigonometriska samband[redigera | redigera wikitext]

Formeln kan bevisas utan trigonometriska samband med hjälp av Herons formel och uppdelning i trianglar.[2]

Generalisering[redigera | redigera wikitext]

Brahmaguptas formel kan generaliseras till att gälla även för konvexa icke-cykliska fyrhörningar enligt[1]

där och är motstående vinklar. Denna formel kallas Bretschneiders formel och Brahmaguptas formel är specialfallet för cykliska fyrhörningar vilket ger som innebär att cosinustermen blir noll.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Noter[redigera | redigera wikitext]

  1. ^ [a b c d] Atzema, Eisso J. (2015-01-02). ”From Brahmagupta to Euler: on the formula for the area of a cyclic quadrilateral”. BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics 30 (1): sid. 20–34. doi:10.1080/17498430.2014.942818. ISSN 1749-8430. http://dx.doi.org/10.1080/17498430.2014.942818. 
  2. ^ Fischbein, Kala; Brooks, Tammy (22 juli 1997). ”Brahmagupta's Formula”. http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Class/Brooks/Brahmagupta/Brahmagupta.html. Läst 15 maj 2015. 
Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.