Herons formel

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Triangel-beteckningar.svg

Herons formel anger sambandet mellan en godtycklig triangels area och dess sidor a, b, c samt semiperimetern (halva omkretsen) s enligt

där alltså

Formelns namn kommer från den grekiske matematikern Heron, men formeln upptäcktes troligen inte av honom, utan av Arkimedes.

Herons formel för trianglar är ett specialfall av en mer generell identitet för cykliska fyrhörningar. Genom att nyttja Herons formel och den aritmetiska-geometriska olikheten kan man bevisa den isoperimetriska egenskapen för liksidiga trianglar.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Låt vara sidorna i en triangel och låt vara motstående vinkel till sidan . Enligt cosinussatsen gäller

Detta ger

Triangelns höjd mot basen har längden varav följer

Se även[redigera | redigera wikitext]