Herons formel anger sambandet mellan en godtycklig triangels area och dess sidor a , b , c samt semiperimetern (halva omkretsen) s enligt[ 1]
A
r
e
a
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle \ Area={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}}
där alltså
s
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
{\displaystyle \ s={\frac {1}{2}}\left(a+b+c\right)}
Formelns namn kommer från den grekiske matematikern Heron , men formeln upptäcktes troligen inte av honom, utan av Arkimedes .[ 2]
Herons formel för trianglar är ett specialfall av en mer generell identitet för cykliska fyrhörningar . Genom att nyttja Herons formel och den aritmetiska-geometriska olikheten kan man bevisa den isoperimetriska egenskapen för liksidiga trianglar.
Låt
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
γ
{\displaystyle \gamma }
c
{\displaystyle c}
cosinussatsen gäller
cos
γ
=
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}
Detta ger (via trigonometriska ettan ):
sin
γ
=
1
−
cos
2
γ
=
4
a
2
b
2
4
a
2
b
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
4
a
2
b
2
=
4
a
2
b
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
2
a
b
{\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\sqrt {{\frac {4a^{2}b^{2}}{4a^{2}b^{2}}}-{\frac {(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{4a^{2}b^{2}}}}}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}}
Triangelns höjd mot basen
a
{\displaystyle a}
b
sin
(
γ
)
{\displaystyle b\sin(\gamma )}
konjugatregeln och kvadreringsreglerna ):
A
r
e
a
=
1
2
(
basen
)
(
höjden
)
=
1
2
a
b
sin
γ
=
1
4
4
a
2
b
2
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
2
använd konjugatregeln:
x
2
−
y
2
=
(
x
−
y
)
(
x
+
y
)
, med
2
a
b
=
x
=
1
4
(
2
a
b
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
)
(
2
a
b
+
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
)
2
a
b
−
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
=
c
2
−
(
a
2
+
b
2
−
2
a
b
)
och
2
a
b
+
(
a
2
+
b
2
−
c
2
)
=
(
a
2
+
b
2
+
2
a
b
)
−
c
2
använd sedan kvadreringsreglerna:
x
2
+
y
2
−
2
x
y
=
(
x
−
y
)
2
och
x
2
+
y
2
+
2
x
y
=
(
x
+
y
)
2
=
1
4
(
c
2
−
(
a
−
b
)
2
)
⋅
(
(
a
+
b
)
2
−
c
2
)
använd konjugatregeln (två gånger!):
=
1
4
(
c
−
(
a
−
b
)
)
(
c
+
(
a
−
b
)
)
⋅
(
(
a
+
b
)
−
c
)
(
(
a
+
b
)
+
c
)
=
(
c
−
(
a
−
b
)
)
(
c
+
(
a
−
b
)
)
(
(
a
+
b
)
−
c
)
(
(
a
+
b
)
+
c
)
16
=
(
c
−
(
a
−
b
)
)
2
(
c
+
(
a
−
b
)
)
2
(
(
a
+
b
)
−
c
)
2
(
(
a
+
b
)
+
c
)
2
=
(
b
+
c
−
a
)
2
(
a
+
c
−
b
)
2
(
a
+
b
−
c
)
2
(
a
+
b
+
c
)
2
=
(
a
+
b
+
c
)
2
(
b
+
c
−
a
)
2
(
a
+
c
−
b
)
2
(
a
+
b
−
c
)
2
b
+
c
−
a
=
a
+
b
+
c
−
2
a
=
2
s
−
2
a
etcetera ger:
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}Area&={\frac {1}{2}}({\mbox{basen}})({\mbox{höjden}})\\&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&\quad {\scriptstyle {\text{använd konjugatregeln:}}\ x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)\ {\text{, med}}\ 2ab=x}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&\quad {\scriptstyle 2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})=c^{2}-(a^{2}+b^{2}-2ab)\ {\text{och}}\ 2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2})=(a^{2}+b^{2}+2ab)-c^{2}}\\&\quad {\scriptstyle {\text{använd sedan kvadreringsreglerna:}}\ x^{2}+y^{2}-2xy=(x-y)^{2}\ {\text{och}}\ x^{2}+y^{2}+2xy=(x+y)^{2}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})\cdot ((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&\quad {\scriptstyle {\text{använd konjugatregeln (två gånger!):}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c-(a-b))(c+(a-b))\cdot ((a+b)-c)((a+b)+c)}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(c-(a-b))}{2}}{\frac {(c+(a-b))}{2}}{\frac {((a+b)-c)}{2}}{\frac {((a+b)+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&\quad {\scriptstyle b+c-a=a+b+c-2a=2s-2a\ {\text{etcetera ger:}}}\\&={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}.\end{aligned}}}
