Potens

För den medicinska betydelsen, se Impotens.

Ett uttryck av typen $4^{5}$ kallas för en potens med basen 4 och exponenten 5, och utläses "fyra upphöjt till fem". Ofta talar man om uttryck på formen $a^{b}$ som potensuttryck. Operationen att "upphöja" kallas exponentiering. I sammanhang där det är typografiskt omöjligt att skriva upphöjda siffror, liksom i programmeringssammanhang och på många miniräknare, förekommer även skrivsättet a^b.

Definitioner

I sin enklaste form (som tidigare kallades dignitet) definierar man potenser som resultatet av upprepad multiplikation. Exempelvis, 4³ (utläses 4 upphöjt till 3) blir 4 · 4 · 4 = 64.

I den här definitionen förutsätts att exponenten är ett positivt heltal.

Potenslagarna

Ur definitionen av potenser med positiva tal som heltalsexponent kan man härleda följande räkneregler, potenslagarna:

${(x\cdot y)}^{n}=x^{n}\cdot y^{n}$

${\left({x \over y}\right)^{m}}={x^{m} \over y^{m}}$

$x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}$

${x^{m} \over x^{n}}=x^{m-n},(x\neq 0)$

${(x^{m})}^{n}=x^{m\cdot n}$

Utgående från dessa lagar definieras sedan utvidgade betydelser av potens.

Utvidgning för alla heltal

Med utgångspunkt i att potenslagarna skall gälla även när exponenten är ett negativt heltal följer av den näst sista potenslagen ovan att

a⁰ = 1 (om a ≠ 0) om m = n. Exempel: 2⁰ = 1 (läs mer under tom produkt)
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (om a ≠ 0) om m < n. Exempel: 2⁻¹ = 1/2¹ = 1/2 .

För a = 0 går det inte att ge en definition för a^x annat än om x>0. Speciellt hör uttrycket 0⁰ till de odefinierbara uttrycken.

Utvidgning för rationella exponenter

Genom att tillämpa den sista potenslagen kan även potenser med rationella exponenter beräknas, förutsatt att basen är större än noll.

x = a ^p/q (där a > 0) är det positiva tal x som uppfyller x^q = a^p eftersom x^q = (a ^p/q)^q = a^{p/q ∙ q} = a^p .

Speciellt betecknas a^1/2 som (kvadrat)roten ur a (skrives ${\sqrt {a}}$ ) och a^1/3 som kubikroten ur a (skrives ${\sqrt[{3}]{a}}$ ).

Om basen är noll eller mindre, är potensen inte definierad. Det beror på att om p är udda och q är jämt går det inte att få likhet för negativa tal a. Udda rötter är däremot definierade för alla reella tal.

Utvidgning för alla reella exponenter

Om exponenten är irrationell, dvs reell men inte rationell, utgår man från kontinuitetsprincipen:

Om x₁<y<x₂ så ska a^x₁<a^y<a^x₂ gälla (där a>1), och genom att låta x₂ − x₁ bli allt mindre, bestäms a^y som ett gränsvärde. (Om 0<a<1 gäller omvända olikheter.)

Alternativ definition av exponentialfunktionen

Det är också möjligt att använda a^x = e^{x ln a} för att definiera potensfunktionen.

En sådan definition kan göras med exponentialfunktionens serieutveckling:

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}

eller utgå ifrån en definition av den naturliga logaritmen:

\ln(x)=\int _{1}^{x}{dt \over t}

Utvidgning för komplexa tal

För komplexa tal (och därmed även för negativa reella baser) kan man skriva om potensuttrycket, så att det kan återföras på följande definition (se Eulers formel):

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$

Mer om potensers egenskaper

Till skillnad från addition och multiplikation har operationen exponentiering nästan ingen av "de vanliga" algebraiska egenskaperna, som brukar användas för att förenkla räkningar. Av potenslagarna kan man utläsa, att exponentiering är högerdistributiv med avseende på multiplikation (det vill säga att (a · b)<sup>c = a^c · b^c); och operationen har det högerneutrala elementet 1 (eftersom a¹ = a. Däremot är exponentiering inte vänsterdistributiv, och saknar vänsterneutralt element.

Exponentiering är inte heller kommutativ. Exempelvis är 2 + 3 = 5 = 3 + 2 och 2 · 3 = 6 = 3 · 2, eftersom addition och multiplikation är kommutativa operationer, men 2³ = 8, vilket inte är detsamma som 3² = 9.

Exponentiering är inte heller associativ, till skillnad från addition och multiplikation. Exempelvis är (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 and (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, men 2³ upphöjt till 4 är 8⁴ = 4 096, medan 2 upphöjt till 3⁴ är 2⁸¹ = 2 417 851 639 229 258 300 000 000. Observera att om man inte använder parenteser för att ändra prioriteringsordningen, så "beräknas exponenter först", så att till exempel

b^{p^{q}}=b^{(p^{q})}\neq (b^{p})^{q}=b^{(p\cdot q)}=b^{p\cdot q}

.

(Detta gäller oberoende av om man använder det vanliga beteckningssättet med "små upphöjda" exponenter, eller i stället betecknar exponentiering medelst symbolen ^. I datoralgebrasystem gäller alltså normalt tolkningen b^p^q = b^(p^q) ≠ (b^p)^q.)

Funktioner med potenser

Till viktiga funktionstyper som har sitt ursprung ur potenser räknas

Se även

Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.