Växelström

Periodisk växelström

Icke-periodisk växelström. Skulle kunna vara utsignalen från en mikrofon

Växelström, AC (eng. alternating current), är en elektrisk ström vars riktning växlar. Om strömmen vid en viss tidpunkt har en viss riktning kommer den vid en senare tidpunkt att ha en motsatt riktning. Kraftverksproducerade växelströmmar och växelspänningar är periodiska och följer med tämligen stor noggrannhet en sinuskurva.

Framförallt är det möjligheten att transformera växelströmmen som gjort den till standard i de allmänna elnäten. Därigenom kan man enkelt åstadkomma en lämplig spänning för olika apparater och maskiner, samtidigt som kraftöverföringen sker med högspänningsledningar vilka ger relativt små överföringsförluster.

Historik

Nikola Tesla tillskrivs upptäckten av växelström. Tesla gjorde växelströmmen användbar genom att konstruera den första växelströmsmotorn 1882 samt utvecklade transformatorn på ett sätt som möjliggjorde uppbyggnaden av dagens eldistributionsnät.

Sinusformad växelström

Sinusformad växelstorhet

Av grundläggande betydelse är växelströmmar och växelspänningar som varierar sinusformigt med tiden. En allmän sinusformad växelstorhet kan skrivas

$a=\hat a \sin(\omega t + \alpha)= A\sqrt 2\sin(\omega t + \alpha)\,$

där

$a$	ögonblicksvärdet (momentanvärdet)
$\hat a$	toppvärdet (maximivärdet, amplituden)
$\omega\,$	vinkelfrekvensen i radianer per sekund
$t$	tiden
$\alpha$	fasvinkeln
$A$	effektivvärdet

Tiden för en period, perioden eller periodtiden är

$T=\frac{2\pi}{\omega}\,$

Antalet perioder per sekund, periodtalet eller frekvensen

$f=\frac{\omega}{2 \pi}=\frac{1}{T}\,$

Enheten för frekvens är hertz (1 Hz).

För en sinusformad växelstorhet är

$A=\frac{\hat a}{\sqrt 2}$

Fasförskjutning

Induktiv fasförskjutning. Spänningen ligger före strömmen

Kapacitiv fasförskjutning. Strömmen ligger före spänningen

Visardiagram för tre seriekopplade impedanser med resistans, induktans och kapacitans

Induktiva och kapacitiva kretsar orsakar fasförskjutning mellan spänning och ström.

Induktiv fasförskjutning

Om växelström leds genom en förlustfri spole uppstår en spänning över spolen som är proportionell mot den magnetiska flödesändringen per tidsenhet:

$u = {d \Phi \over dt} = L{di \over dt}$

Om växelströmmen varierar enligt sin(ωt) blir spänningen över kretsen

$u=L\frac{d}{dt}\sin\omega t = \omega L\cos\omega t = \omega L\sin(\omega t + \frac{\pi}{2})\,$

och spänningen ligger således 90° före strömmen.

Kapacitiv fasförskjutning

En växelspänning över en kondensator orsakar en upp- och urladdnining av kondensatorn enligt

$i = \frac{dQ}{dt} = C\ \frac{du}{dt}$

Om spänningen varierar som sin(ωt) blir strömmen genom kondensatorn

$i=C\frac{d}{dt} \sin \omega t = \omega C\cos\omega t = \omega C\sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$

det vill säga strömmen ligger 90° före spänningen.

Kretsar med förluster

Om de induktiva och kapacitiva kretsarna har förluster (resistiva förluster, värmeutveckling) kommer fasförskjutningarna att variera mellan 0 och ±90°.

Exempel

Den resulterande fasvridningen för en seriekoppling av tre komponenter med resistans, induktans och kapacitans, kan enligt visardiagrammet till höger beräknas som

$\theta = \arctan{\omega L - {1 \over \omega C}\over R}$

Allmän passiv växelströmskrets

En tvåpol är en elektrisk krets med två anslutningspunkter

En passiv växelströmskrets (som inte innehåller transistorer, ström/spänningskällor eller andra "aktiva" element) kan abstraheras till en tvåpol med konstanta egenskaper, en komponent med enbart två anslutningsklämmor. Beroende på dess uppbyggnad kommer tvåpolen att ha en kapacitiv eller induktiv karaktär, vilket bestämmer kretsens fasvridande förmåga och hur den behandlar mottagen effekt.

En induktiv eller kapacitiv tvåpol har en energilagrande förmåga. Energi lagras i elektromagnetiska fält (laddningskonfigurationer) under en del av växelströmsperioden. Denna effektdel, som kallas reaktiv effekt, kommer att sändas tillbaka till växeleffektkällan under en annan del av växelströmsperioden.

Förhållandet mellan växelspänning och växelström för en passiv tvåpol är enligt Ohms lag

$\ U = Z\cdot I$

där Z är kretsens impedans, vilken i det allmänna fallet är sammansatt av resistans och reaktans.

Effekt i växelströmskretsar

Motoriskt referensval (effekt tillförs tvåpolen) för en tvåpols momentaneffekt

Den utvecklade momentan- och medeleffekten för en växelströmskrets. Strömmen och spänningen är inbördes fasförskjutna. Notera att effekten kan vara både positiv (mottagen) och negativ (avgiven)

Sinusformade spänningar och strömmar

Vid behandling av effektutveckling i växelströmskretsar är det viktigt att skilja mellan momentaneffekt och medeleffekt.

Momentaneffekten är definitionsmässigt p = ui, det vill säga produkten av spänningens och strömmens momentanvärden. I det allmänna fallet varierar både u och i med tiden och således även p. För momentaneffekten är det också nödvändigt att ange om p står för mottagen eller avgiven effekt.

Låt oss utgå från tvåpolen i vidstående figur som har motoriskt referensval, vilket innebär att momentaneffekten referensmässigt står för mottagen effekt sett från tvåpolen. Om effekten är mottagen eller avgiven anges av p:s tecken.

Spänning och ström antas vara sinusformade:

$\ u = \hat u \sin(\omega t + \varphi _u)$

$\ i = \hat i \sin(\omega t + \varphi _i)$

Den mottagna effekten kan då skrivas

$\ p = ui = \hat u \hat i\sin(\omega t + \varphi _u)\sin(\omega t + \varphi _i)$

vilket kan skrivas om till

$\ p = UI \cos(\varphi _u - \varphi _i) - UI \cos(2\omega t + \varphi _u + \varphi _i)$

där U är spänningens effektivvärde och I är strömmens effektivvärde. Om vi definierar

$\ \varphi = \varphi _u - \varphi _i$

det vill säga, som faskillnaden mellan spänning och ström, kan vi skriva

$\ p = UI \cos\varphi - UI \cos(2\omega t + \varphi _u + \varphi _i)$

Den momentana effekten kan således anses bestå av två delar:

• En konstant del

$UI\cos\varphi$

som om φ < 90° (motsvarar en passiv tvåpol) alltid är >= 0

• En med dubbla frekvensen varierande del

$UI \cos(2\omega t + \varphi _u + \varphi _i)$

Aktiv effekt

Visardiagram över aktiv och reaktiv effekt. $\ \varphi$ är fasvinkeln mellan spänning och ström. Den reaktiva effektens tecken beror av tecknet för $\ \varphi$
(P) - Aktiv effekt
(Q) - Reaktiv effekt
(S) - Skenbar effekt

Den av tvåpolen förbrukade effekten (medeleffekten) är den konstanta delen

$\ P = UI \cos\varphi$

vilken också kallas aktiv effekt och har enheten watt.

Reaktiv effekt

Om

$\ |\cos \varphi| < 1$,

det vill säga om ström och spänning är fasförskjutna, förekommer reaktiv effekt, vilken har enheten voltampere reaktiv (var).

Över en period är summan av de reaktiva effektbidragen noll. Den reaktiva effekten mottages och avges endast och förbrukas således inte av tvåpolen. Den reaktiva effektens belopp är

$\ Q = UI \sin \varphi$

Referensmässigt räknas effekten som positiv om Q är av induktiv karaktär.

Skenbar effekt

Skenbar effekt är produkten av strömmens och spänningens effektivvärden:

$\ S = UI$

Skenbar effekt har enheten voltampere (VA) och är den effekt som anges som förbrukning för produkter som kopplas till elnätet. Vi ser av visardiagrammet att den skenbara effektens belopp ges av

$S=\Big |\sqrt{P^2 + Q^2}\Big |$

Den skenbara effektens tecken bestäms av tecknet för den reaktiva effekten.

Effektfaktor

Faktorn $\ \cos\varphi$ är av stor betydelse vid sinusformigt varierande spänning och ström och benämns effektfaktorn. Dess värde beror på tvåpolens uppbyggnad eftersom denna är avgörande för φ:s belopp och tecken. Effektfaktorn kan också skrivas som

$\ \cos\varphi = {P \over UI} = {P \over S}$

Effekt vid icke sinusformade spänningar och strömmar

Medeleffekten definieras som

$P = {1 \over t_2 - t_1}\int_{t_1}^{t_2} ui\,dt$

Om tvåpolens spänning och ström antas vara fourieruppdelade kan medeleffekten erhållas uttryckt i fourierkomponenterna. Vi utgår från

$\ u = U_0 + U_1 \sqrt{2}\sin(\omega t + \varphi _{11}) + U_2 \sqrt{2}\sin(2\omega t + \varphi _{12}) + ...$

$\ i = I_0 + I_1 \sqrt{2}\sin(\omega t + \varphi _{21}) + I_2 \sqrt{2}\sin(2\omega t + \varphi _{22}) + ...$

Där $\ U_0$ är likspänningskomponenten och $\ I_0$ är likströmskomponenten. Efter multiplikation och termvis integrering erhålls

$\ P = U_0 I_0 + U_1 I_1 \cos(\varphi _1) + U_2 I_2 \cos(\varphi _2) + U_3 I_3 \cos(\varphi _3) + ...$

där $\ \varphi _1 = \varphi _{11} - \varphi _{21}, \varphi _2 = \varphi _{12} - \varphi _{22}, ...$.

Detta kan uttryckas som:

Endast termer med samma frekvenskomponenter (samma multipler av $\ \omega t$) ger bidrag till medeleffekten.

Resultatet innebär att om exempelvis en sinusformad spänning påtrycks en icke-linjär tvåpol med en icke sinusformad ström som följd så kommer vid beräkningen av tvåpolens medeleffekt endast strömmens grundton (som har samma frekvens som spänningen) att ha betydelse.

Skenbar effekt ges liksom vid sinusformad spänning och ström av strömmens och spänningens effektivvärden som

$\ S = U I$

Effektfaktorn ges på samma sätt som i det sinusformade fallet av

$\ PF = {P\over S}$

Observera dock att effektfaktorn inte längre är lika med cosinus för vinkeln mellan spänning och ström.

Reaktiv effekt är odefinierad för icke sinusformad spänning och ström. I praktiken används ibland

$Q=\sqrt{S^2 - P^2}$

eller i analogi med det sinusformade fallet

$\ Q = U_1 I_1 \sin\varphi_1$

Om övertonshalten är låg blir resultaten i praktiken lika, men vid stora övertonshalter kan skillnaden bli betydande och med det förra värdet alltid större än det senare.

Analytisk behandling av stationära växelströmsförlopp

För analytisk behandling av stationära sinusformade växelströmsförlopp kan jω-metoden användas där varje impedans och växelstorhet representeras av ett komplext tal. Metoden ger vanligen betydande förenklingar då reglerna för likströmskretsar kan tillämpas på växelströmskretsar.

Enkla växelströmskretsar

Serieresonans

Serieresonanskrets Visardiagram för serieresonanskretsen För momentanvärdena i en serieresonanskrets gäller $u = Ri+L\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}\int{i\, dt}$ Motsvarande ekvation i komplex form: $\overline U = \left(R + j\omega L + {1 \over j\omega C}\right)\overline I$ Inför den komplexa spänningen och strömmen $\overline U = U\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t +\beta)} = U\underline{/\beta}\,$ $\overline I = I\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{j}(\omega t +\alpha)} = I\underline{/\alpha}$ Härav $I=\frac{U}{\sqrt{R^2 + \left(\omega L - {1 \over \omega C}\right)^2}}$ $\alpha=\beta-\arctan\frac{\omega L - {1 \over \omega C}}{R}$ Impedansens absolutbelopp $|Z|=\sqrt{R^2 + \left(\omega L - {1 \over \omega C}\right)^2}$ och dess fasvinkel $\underline{/Z}= \arctan\frac{\omega L - {1 \over \omega C}}{R}$ Serieresonanser för olika Q-värden Om $\omega L > \frac{1}{\omega C}$ ligger spänningen före strömmen (induktiv fasförskjutning) och om $\omega L = \frac{1}{\omega C}$ ligger spänningen i fas med strömmen och om $\omega L < \frac{1}{\omega C}$ ligger spänningen efter strömmen (kapacitiv fasförskjutning). Resonans inträffar för vinkelfrekvensen $\omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ Om kretsens godhetstal $Q_r = \frac{\omega_r L}{R}$ är stort blir resonanskurvorna höga och spetsiga.

Parallellresonans

Parallellkrets Visardiagram för parallellkretsen. Spänningen är riktfas För momentanvärdena i en parallellresonanskrets gäller ekvationerna $i=i_1+i_2\,$ $u = Ri_1+L\frac{di_1}{dt}+\frac{1}{C}\int{i_2\, dt}$ Motsvarande ekvationer i komplex form: $\overline I = \overline I_1 + \overline I_2\,$ $\overline U = (R + j\omega L)\overline I_1 = \frac{1}{j\omega C}\overline I_2$ Kretsens impedans $Z=\frac{\overline U}{\overline I}=\frac{(R+j\omega L)\frac{1}{j\omega C}}{R+j(\omega L - \frac{1}{\omega C})} = \frac{R+j\omega L}{(1-\omega^2LC)+j\omega CR}$ Resonanser när absolutbeloppet av Z är maximum I en parallellresonanskrets kan resonans definieras på olika sätt som leder till olika resonansfrekvenser. 1. Resonans inträffar vid den frekvens vid vilken serieresonans inträffar, $\omega_1 = \omega_r = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ 2. Resonans inträffar vid den frekvens vid vilken ström och spänning ligger i fas, $\omega_2 = \omega_r\sqrt{1-\frac{1}{Q_r^2}}$ 3. Resonans inträffar vid den frekvens vid vilken |Z| är maximal vid variation av frekvensen, $\omega_3=\omega_r\sqrt{\sqrt{1+\frac{2}{Q_r^2}}-\frac{1}{Q_r^2}}$ Qr är godhetstalet vid resonans eller $Q_r=\frac{\omega_r L}{R}=\frac{1}{\omega_r CR}$

Se även

• Trefassystem
• Tvåfassystem
• Enfassystem
• jω-metoden
• Faskompensering
• Likström
• Växelspänning
• Nätverksanalysator