Kvantmekaniskt tillstånd

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök
Kvantmekanik

Teori:

Tolkning:

Persongalleri
Einstein | Schrödinger
Heisenberg | Dirac | Fermi
Bohr | Planck | Born

Ett kvantmekaniskt tillstånd, eller kvanttillstånd, är en kvantmekanisk beskrivning av tillståndet för ett fysikaliskt system och utgör tillsammans med observabler grunden för kvantteorin. Vilka kvanttillstånd som är möjliga och hur de ser ut beror på de fysikaliska egenskaperna hos systemet i fråga. En elektrons spinn kan till exempel befinna sig i två olika tillstånd, upp respektive ned, medan en elektron i en atom kan befinna sig i en mängd olika tillstånd, så kallade orbitaler.

Till skillnad från klassisk fysik är det även möjligt för ett system att befinna sig i en linjärkombination – superposition – av de tillstånd som är tillåtna enligt klassisk fysik. Exempelvis kan en elektrons spinn befinna sig i ett kvanttillstånd där det till hälften pekar uppåt och till hälften pekar nedåt. Superpositionsprincipen leder till typiska kvantmekaniska fenomen såsom interferens och sammanflätning.

Matematiskt beskrivs kvanttillståndet för ett isolerat system – ett så kallat rent kvanttillstånd – av en tillståndsvektor i ett linjärt rum med en inre produkt, även kallat Hilbertrum. Tillståndsvektorn innehåller all möjlig fysikalisk information om kvanttillståndet och gör det möjligt att teoretiskt beräkna väntevärden för olika observabler, det vill säga de storheter som är möjliga att uppmäta genom experiment. Ett öppet system, å andra sidan, behöver inte nödvändigtvis befinna sig i ett rent tillstånd, utan befinner sig i allmänhet i ett blandat kvanttillstånd, vilket matematiskt beskrivs av en täthetsmatris.

Översikt[redigera | redigera wikitext]

Inom kvantfysiken beskrivs kvanttillstånd vanligtvis med hjälp av bra-ket-notation. Enligt denna notation betecknas tillståndet för ett isolerat fysikaliskt system med |\psi\rangle, där \psi är beteckningen på tillståndet och |\cdot\rangle markerar att det är ett kvanttillstånd. Olika tillstånd kan antingen betecknas med olika bokstäver eller symboler, till exempel |\psi\rangle, |\phi\rangle eller |\!\uparrow\rangle, eller med en och samma bokstav eller symbol fast med ett index, till exempel |\psi_n\rangle eller enbart |n\rangle, där n numrerar tillstånden. Notera att |\psi_n\rangle och |n\rangle kan syfta på antingen ett enda tillstånd med det specifika indexet n eller en hel mängd av tillstånd, där n till exempel antar alla positiva heltal, det vill säga n=1,2,3,.... I vissa fall betecknas kvanttillståndet av flera bokstäver, som var och en motsvarar en frihetsgrad för det fysikaliska systemet. Till exempel har elektronen i en väteatom fyra frihetsgrader och beskrivs därför av tillståndet |n,l,m_l,m_s\rangle, där n, l, m_l och m_s är så kallade kvanttal som definierar vilken orbital elektronen befinner sig i.

Ett av postulaten bakom kvantmekaniken, superpositionsprincipen, innebär att om ett system kan befinna sig i ett antal olika tillstånd så kan det även befinna sig i en linjärkombination – superposition – av dessa tillstånd. På grund av möjligheten till interferens mellan olika kvanttillstånd är koefficienterna i linjärkombinationen i allmänhet komplexa tal. Systemets olika kvanttillstånd kan därför ses som element, tillståndsvektorer, i ett komplext linjärt rum. Det linjära rummet är dessutom försett med en inre produkt, vilket gör rummet till ett Hilbertrum.

På motsvarande sätt beskrivs mätbara storheter, så kallade observabler, av operatorer som verkar på kvanttillstånden. Utfallet av en kvantmekanisk mätning av en observabel \hat{A} är A_m om systemet befinner sig i egentillståndet |\psi_m\rangle med egenvärdet A_m, det vill säga \hat{A}|\psi_m\rangle = A_m|\psi_m\rangle. Eftersom egentillstånden utgör en bas för Hilbertrummet kan varje kvanttillstånd skrivas som en linjärkombination av egentillstånd:

|\phi\rangle = \sum_n c_n |\psi_n\rangle,

där c_n är komplexa tal. Utfallet vid en mätning av observabeln \hat{A} på tillståndet |\phi\rangle kommer då med sannolikheten |c_m|^2 att bli A_m. Genom mätningen projiceras tillstådet |\phi\rangle ned på ett av egentillstånden, nämligen det som tillhör det egenvärde som uppmätts.

Även för observabler med kontinuerligt spektrum, till exempel positionsoperatorn \hat{x}, kan varje kvanttillstånd uttryckas som en linjärkombination av egentillstånden |x\rangle:

|\phi\rangle = \int dx\,\phi(x) |x\rangle,

där den komplexa funktionen \phi(x) är tillståndets så kallade vågfunktion. Sannolikhetstätheten för att uppmäta positionen x ges av |\phi(x)|^2.

Formalism[redigera | redigera wikitext]

Kvanttillståndet för ett isolerat fysikaliskt system, ett så kallat rent kvanttillstånd, beskrivs matematiskt av en vektor |\psi\rangle i ett Hilbertrum \mathcal{H} över de komplexa talen \mathbb{C}. Enligt kvantmekaniken innehåller denna vektor all möjlig information om systemets fysikaliska egenskaper.

Det följer av Hilberrummets egenskaper att addition av två kvanttillstånd |\psi\rangle och |\phi\rangle ger ett nytt kvanttillstånd |\varphi\rangle = |\psi\rangle + |\phi\rangle. På samma sätt ger multiplikation av en skalär c\in\mathbb{C} med ett kvanttillstånd |\psi\rangle ett nytt kvanttillstånd |\phi\rangle = c|\psi\rangle. Givet en bas |\psi_n\rangle av kvanttillstånd kan varje annat tillstånd i Hilbertrummet skrivas som en linjärkombination av dessa:

Utveckling av ett kvanttillstånd |\phi\rangle i en bas |\psi_n\rangle

|\phi\rangle = \sum_n c_n |\psi_n\rangle

där c_n är komplexa tal som beror på vilken bas |\psi_n\rangle som används. Vanligtvis väljs en bas bestående av egentillstånden till den observabel som studeras.

Inre produkt av kvanttillstånd[redigera | redigera wikitext]

Se även: Inre produkt

Utöver att vara ett linjärt rum är Hilbertrummet även utrustat med en inre produkt. Den inre produkten mellan två kvanttillstånd |\psi\rangle och |\phi\rangle betecknas med \langle\psi|\phi\rangle, vilket är en skalär. Om |\phi \rangle beskrivs av en kolumnvektor så beskrivs \langle \psi | av en radvektor. Den inre produkten \langle \psi |\phi \rangle är då en vanlig skalärprodukt mellan två vektorer. Matematiskt utgör \langle \psi | ett kvanttillstånd i dualrummet till \mathcal{H}.

Om |\psi_n\rangle utgör en ortogonal bas för Hilbertrummet kan koefficienterna c_n i uttrycket |\phi\rangle = \sum_n c_n |\psi_n\rangle skrivas som en inre produkt c_n = \frac{\langle\psi_n|\phi\rangle}{\langle\psi_n|\psi_n\rangle}. Om |\psi_n\rangle dessutom är en ortonormal bas, det vill säga \langle\psi_m|\psi_n\rangle = \delta_{mn} där \delta_{mn} är Kroneckers delta, fås

Koefficienten c_n uttryckt som en inre produkt

c_n = \langle\psi_n|\phi\rangle

Det gäller alltså att varje kvanttillstånd |\phi\rangle kan skrivas som |\phi\rangle = \sum_n c_n |\psi_n\rangle = \sum_n \langle\psi_n|\phi\rangle |\psi_n\rangle = \sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n|\phi\rangle från vilken den så kallade fullständighetsrelationen följer:

Fullständighetsrelationen

\sum_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n| = 1

Yttre produkt av kvanttillstånd[redigera | redigera wikitext]

Se även: Yttre produkt

En yttre produkt mellan två kvanttillstånd |\psi_m\rangle och |\psi_n\rangle betecknas med |\psi_m\rangle\langle\psi_n|, vilket är en operator. Ett specialfall är om de båda tillstånden är samma, |\psi_m\rangle = |\psi_n\rangle, vilket ger projektionsoperatorn

Projektionsoperator \hat{P}_m på tillståndet |\psi_m\rangle

\hat{P}_m \equiv |\psi_m\rangle\langle\psi_m|

Operatorn \hat{P}_m är en projektionsoperator som projicerar kvanttillstånd på tillståndet |\psi_m\rangle. Exempelvis fås att \hat{P}_m|\phi\rangle = |\psi_m\rangle\langle\psi_m| \sum_n c_n |\psi_n\rangle = c_m|\psi_m\rangle. Notera att fullständighetsrelationen innebär att \sum_n \hat{P}_n = 1. Med andra ord innebär det att om ett kvanttillstånd projiceras ned på samtliga egentillstånd så förblir det oförändrat.

Vågfunktioner[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Vågfunktion

För en operator med kontinuerligt spektrum, till exempel positionsopereatorn \hat{x}, gäller fortfarande ovannämnda relationer. Dock ersätts alla summor med integraler för att ta hänsyn till det kontinuerliga spektrumet. Om |x\rangle är egentillstånden till \hat{x} med egenvärden (positionen) x gäller att varje annat kvanttillstånd |\phi\rangle kan skrivas som

Definitionen av vågfunktionen \phi(x) till tillståndet |\phi\rangle

|\phi\rangle = \int dx\,\phi(x) |x\rangle

där den komplexa funktionen \phi(x) = \langle x|\phi\rangle är tillståndets så kallade vågfunktion. Sannolikhetstätheten för att uppmäta positionen x ges av |\phi(x)|^2. Fullständighetsrelationen för en observabel med kontinuerligt spektrum ges av \int dx\,|x\rangle\langle x|=1.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Spinn och kvantbitar[redigera | redigera wikitext]

Huvudartiklar: Spinn och kvantbit
Blochsfären är ett sätt att representera kvanttillståndet för ett binärt system.

Spinn är en kvantmekanisk egenskap hos en partikel och saknar motsvarighet i klassisk fysik. Spinnet ger partikeln en fjärde frihetsgrad utöver de tre rumsliga frihetsgraderna. Olika partiklar kan ha olika spinn beroende på vilken typ av partikel det rör sig om. En elektron har till exempel alltid spinn 1/2, vilket innebär att spinnet kan befinna sig i två olika tillstånd: upp eller ned. Hilbertrummet för en elektrons spinntillstånd är därför tvådimensionellt. Varje möjligt kvanttillstånd för spinnet ges av en superposition |\psi\rangle = a|\!\uparrow\rangle + b|\!\downarrow\rangle, där |\!\uparrow\rangle och |\!\downarrow\rangle betecknar tillstånden för upp respektive ned och a och b är komplexa konstanter som avgör till hur stor del |\psi\rangle befinner sig i dessa två olika egentillstånd.

För att uppfylla normaliseringsvillkoret \langle \psi|\psi\rangle = 1 krävs att |a|^2+|b|^2 = 1. Normaliseringsvillkoret reducerar antalet frihetsgrader från tre till två. Detta innebär att tillståndet |\psi\rangle istället kan (upp till en betydelselös fasfaktor) uttryckas på formen |\psi\rangle = \cos{\frac{\theta}{2}}|0\rangle + e^{i\varphi}\sin{\frac{\theta}{2}}|1\rangle, där nu de reella parametrarna \theta och \varphi beskriver tillståndet. Ett sådant tillstånd kallas mer allmänt för en kvantbit och spinn är bara ett exempel på en sådan. Tillståndet för en qubit kan geometriskt representeras som en vektor på Blochsfären, där \varphi är azimutvinkeln och \theta är zenitvinkeln.

Orbitaler och kvanttal[redigera | redigera wikitext]

Huvudartiklar: Atomorbital och kvanttal

En elektron i en atom kan befinna sig i olika orbitaler. Varje orbital motsvarar ett kvanttillstånd. Elektronen har förutom sina tre rumsliga frihetsgrader även en fjärde frihetsgrad på grund av spinnet. Därför beskrivs elektronens totala tillstånd av fyra kvanttal och kvanttillståndet betecknas vanligtvis med |n,l,m_l,m_s\rangle, där n, l, m_l och m_s är kvanttal som definierar vilken orbital elektronen befinner sig i. En elektron kan även befinna sig i en superposition av dessa tillstånd, det vill säga det mest allmänna kvanttillståndet ges av |\psi\rangle = \sum_{n,l,m_l,m_s}c_{n,l,m_l,m_s}|n,l,m_l,m_s\rangle.

Kvantmekanisk mätning[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Kvantmekanisk mätning

Vid en kvantmekanisk mätning av en observabel på ett kvanttillstånd projiceras tillståndet ned på ett av egentillstånden till den Hermiteska operator som representerar observabeln. Utfallet av mätningen ges av det tillhörande egenvärdet till det egentillstånd som kvanttillståndet har projicerats på. Det är alltså inte möjligt att erhålla andra utfall än egenvärdena till observabelns operator. Om observabeln har ett diskret spektrum innebär det att utfallen är kvantiserade.

Om observabeln \hat{A} mäts för kvanttillståndet |\phi\rangle = \sum_n c_n |\psi_n\rangle, där |\psi_n\rangle är ortonormerade egentillstånd till \hat{A} med egenvärden A_n, ges sannolikheten för att få utfallet A_m av

Sannolikheten p_m att uppmäta A_m

p_m = |c_m|^2 = |\langle \psi_m|\phi\rangle|^2 = \langle\phi|\hat{P}_m|\phi\rangle

Vid mätningen projiceras det ursprungliga kvanttillståndet ned på egentillståndet |\psi_m\rangle. Ytterligare mätningar utförda i samma bas av egentillstånd |\psi_n\rangle kommer att ge samma utfall A_m eftersom tillståndet redan har projicerats ned på ett av egentillstånden. Med andra ord påverkar den första mätningen tillståndet, medan tillståndet förblir opåverkat av ytterligare mätningar så länge samma bas används för mätningen.

Observabeln \hat{A} kan alltid skrivas som en linjärkombination av projektioner, \hat{A} = \sum_n A_n\hat{P}_n, där \hat{P}_n är en projektionsoperator på egenrummet till \hat{A} med egenvärde A_n. Per definition följer då att väntevärdet \langle \hat{A}\rangle för observabeln är

Väntevärdet \langle \hat{A}\rangle för observabeln \hat{A}

\langle \hat{A}\rangle \equiv \sum_n A_n p_n = \sum_n A_n\langle\phi|\hat{P}_n|\phi\rangle = \langle\phi|\hat{A}|\phi\rangle

Tidsutveckling[redigera | redigera wikitext]

För att den kvantmekaniska beskrivningen av kvanttillstånd ska vara fullständig krävs att den kan beskriva hur tillståndet förändras med tiden. Det finns flera olika sätt att beskriva tidsutvecklingen av ett kvanttillstånd. Detta beror på att alla experimentellt uppmätta värden ges av väntevärden av observabler på formen \langle \hat{A}\rangle = \langle\phi|\hat{A}|\phi\rangle. Så länge de olika metoderna, eller bilderna, ger samma väntevärde för observablerna är de konsistenta.

Schrödingerbilden[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Schrödingerbilden

Den vanligaste bilden av tidsutvecklingen är Schrödingerbilden där observablerna är tidsoberoende och kvanttillståndens tidsberoende beskrivs av Schrödingerekvationen:

Tidsutvecklingen i Schrödingerbilden
(Schrödingerekvationen)

i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\phi\rangle = \hat{H}|\phi\rangle

där \hat{H} är Hamiltonoperatorn. Schrödingerbilden används inom icke-relativistisk kvantmekanik.

Heisenbergbilden[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Heisenbergbilden

I Heisenbergbilden är kvanttillstånden istället tidsoberoende medan observablernas tidsberoende beskrivs av

Tidsutvecklingen i Heisenbergbilden

\frac{d}{dt}\hat{A}(t) = \frac{i}{\hbar}[\hat{H},\hat{A}(t)]+\left( \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right)_H

där \hat{H} är Hamiltonoperatorn och [\cdot,\cdot] betecknar en kommutator. Till skillnad från Schrödingerbilden gör Heisenbergbilden ingen skillnad på tid och rum, och är därför förenlig med relativitetsteorin och Lorentztransformationen. Heisenbergbilden används inom relativistisk kvantmekanik.

Sammansatta system[redigera | redigera wikitext]

Se även: Tensorprodukt

Om ett fysikaliskt system består av två delsystem A och B med tillhörande Hilbertrum \mathcal{H}_A och \mathcal{H}_B, så ges Hilbertrummet \mathcal{H} för det totala systemet av tensorprodukten \mathcal{H} = \mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B. Tillståndet |\psi\rangle för det totala systemet ges av tensorprodukten |\psi\rangle = |\psi_A\rangle\otimes|\psi_B\rangle, där |\psi_A\rangle\in\mathcal{H}_A är tillståndet för delsystem A och |\psi_B\rangle\in\mathcal{H}_B är tillståndet för delsystem B.

Öppna system[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Täthetsmatris

Ett system som är öppet, det vill säga interagerar med sin omgivning, kan befinna sig i ett blandat kvanttillstånd. Ett blandat tillstånd kan ses som en klassisk beskrivning av en statistisk ensemble. Om det fysikaliska systemet med sannolikhet p_n befinner sig i det rena tillståndet |\psi_n\rangle\langle\psi_n, så ges täthetsmatrisen \hat{\rho} av

Täthetsmatris

\hat{\rho} = \sum_n p_n |\psi_n\rangle\langle\psi_n|

där 0 \leq p_n \leq 1 är reella tal och \sum_n p_n = 1. Notera att täthetsmatrisen är en operator i motsats till en tillståndsvektor. De olika rena tillstånden |\phi_n\rangle behöver inte nödvändigtvis vara ortogonala och koefficienterna p_n är därför inte nödvändigtvis entydiga. Täthetsmatrisen är ett mer generellt koncept än en tillståndsvektor. Ett rent kvanttillstånd |\psi\rangle beskrivs till exempel av täthetsmatrisen \hat{\rho} = |\psi\rangle\langle\psi|, men täthetsmatrisen kan därutöver även beskriva blandade tillstånd vilket inte tillståndsvektorn kan.

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

  • Nielsen, Michael A.; Isaac L. Chuang (2010). Quantum Computation and Quantum Information (10th Anniversary Edition). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107002173