Modulär aritmetik
Matematiska operationer | ||
---|---|---|
Addition (+) | ||
term + term addend + addend |
= | summa |
Subtraktion (−) | ||
term − term minuend − subtrahend |
= | differens |
Multiplikation (× eller ·) | ||
faktor × faktor multiplikator × multiplikand |
= | produkt |
Division (÷ eller /) | ||
täljare / nämnare dividend / divisor |
= | kvot |
Moduloräkning (mod) | ||
dividend mod divisor | = | rest |
Exponentiering (^) | ||
basexponent | = | potens |
n:te roten (√) | ||
grad √radikand | = | rot |
Logaritm (log) | ||
logbas(potens) | = | exponent |
Modulär aritmetik, moduloräkning eller kongruensräkning är ett område inom aritmetiken, där kongruensrelationen analyseras och används. Två tal a och b sägs vara kongruenta modulo n om n delar differensen mellan a och b, vilket för alla nollskilda n är ekvivalent med att de har samma principala rest vid division med n. Detta betecknas , och ibland även .
Talen a och b är kongruenta modulo 0 om och endast om a = b. Detta triviala slags kongruens bortser man ofta från, och förutsätter då i stället att n är nollskilt, alltså inte är lika med noll. Under det extraantagandet kan man formellt beskriva definitionen och dess grundläggande egenskaper så här:
- har samma rest vid division med n .
Exempel
eftersom 9 och 5 båda ger resten 1 vid division med 4.
eftersom 10 och 0 ger samma rest (0) vid division med 2.
Generaliseringar
Om man låter beteckna delmängden av Z, så kan ovanstående definition formuleras . Den avgörande egenskapen hos är att den är ett ideal. Man låter ofta betyda där är ett ideal i en ring , eller allmännare Y är en delmodul av en modul X. Mängden av ekvivalensklasser till denna relation betecknas , och kallas en kvotring (respektive kvotmodul, kvotgrupp, kvotrum och så vidare).
Moduloräkning
Moduloräkning (även kallat kongruensräkning) är ett område inom elementär algebra. Relationen kongruens modulo används bland annat för datoraritmetik och inom kryptering.
Två tal a och b är kongruenta modulo n om de ger samma rest vid division med n (a,b och n är heltal, n är större eller lika med 2).
Detta betecknas . Man kan också skriva .
Om a och b inte är kongruenta modulo n, säger vi att talen är inkongruenta.
Vilket betecknas
Exempel
- , Resten kan i båda fallen bli 4 vid division med 5
- , Resten kan i båda fallen bli 3 vid division med 7
- , Resten blir olika vid division med 6
De fyra räknesätten
Vid moduloräkning fungerar addition, subtraktion och multiplikation som vanligt. Division fungerar emellertid under vissa förbehåll, se exempel nedan.
Bevis
- Låt n vara ett positivt heltal. Antag att heltalen samt uppfyller
- och
- Per definition vet vi att och
- Det betyder att det finns heltal x och y sådana att
- och
- Nu följer
- Alltså gäller , vilket betyder att
- Vidare,
- Och därmed
- Det vill säga
Beviset bekräftar addition och därmed subtraktion. Samt multiplikation vid moduloräkning.
Exempel
Addition
Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar
Subtraktion
Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar
Multiplikation
Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar
Division
För division fordras viss försiktighet, vilket t.ex. illustreras av att , men ; det gäller emellertid att om är heltal, och , så där är den största gemensamma delaren till och . Speciellt gäller att om , så närhelst och saknar gemensamma delare.
Se även
Referenser
Böcker
A. Asratian, A. Björn, B. O. Turesson (2007). Diskret Matematik. Linköping: Matematiska institutionen, Linköpings Universitet
Webbkällor
- Peterholgersson.se/ (hämtad 2008-05-12)
Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia. |