Modulär aritmetik

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Moduloräkning)
Hoppa till navigering Hoppa till sök
Matematiska operationer
Addition (+)
addend + addend = summa
Subtraktion (−)
minuend − subtrahend = differens
Multiplikation (× eller ·)
multiplikator × multiplikand = produkt
Division (÷ eller /)
dividend / divisor = kvot
Moduloräkning (mod)
dividend mod divisor = rest
Exponentiering
basexponent = potens
n:te roten (√)
grad radikand = rot
Logaritm (log)
logbas(potens) = exponent

Modulär aritmetik, moduloräkning eller kongruensräkning är ett område inom aritmetiken, där kongruensrelationen analyseras och används. Två tal a och b sägs vara kongruenta modulo n om n delar differensen mellan a och b, vilket för alla nollskilda n är ekvivalent med att de har samma principala rest vid division med n. Detta betecknas , och ibland även .

Talen a och b är kongruenta modulo 0 om och endast om a = b. Detta triviala slags kongruens bortser man ofta från, och förutsätter då i stället att n är nollskilt, alltså inte är lika med noll. Under det extraantagandet kan man formellt beskriva definitionen och dess grundläggande egenskaper så här:

har samma rest vid division med n .

Exempel[redigera | redigera wikitext]

eftersom 9 och 5 båda ger resten 1 vid division med 4.

eftersom 10 och 0 ger samma rest (0) vid division med 2.

Generaliseringar[redigera | redigera wikitext]

Om man låter beteckna delmängden av Z, så kan ovanstående definition formuleras . Den avgörande egenskapen hos är att den är ett ideal. Man låter ofta betyda där är ett ideal i en ring , eller allmännare Y är en delmodul av en modul X. Mängden av ekvivalensklasser till denna relation betecknas , och kallas en kvotring (respektive kvotmodul, kvotgrupp, kvotrum och så vidare).

Moduloräkning[redigera | redigera wikitext]

Moduloräkning (även kallat kongruensräkning) är ett område inom elementär algebra. Relationen kongruens modulo används bland annat för datoraritmetik och inom kryptering.

Två tal a och b är kongruenta modulo n om de ger samma rest vid division med n (a,b och n är heltal, n är större eller lika med 2).

Detta betecknas . Man kan också skriva .

Om a och b inte är kongruenta modulo n, säger vi att talen är inkongruenta.

Vilket betecknas

Exempel[redigera | redigera wikitext]

  • , Resten kan i båda fallen bli 4 vid division med 5
  • , Resten kan i båda fallen bli 3 vid division med 7
  • , Resten blir olika vid division med 6

De fyra räknesätten[redigera | redigera wikitext]

Vid moduloräkning fungerar addition, subtraktion och multiplikation som vanligt. Division fungerar emellertid under vissa förbehåll, se exempel nedan.

Bevis[redigera | redigera wikitext]

Låt n vara ett positivt heltal. Antag att heltalen samt uppfyller
och
Per definition vet vi att och
Det betyder att det finns heltal x och y sådana att
och
Nu följer
Alltså gäller , vilket betyder att

Beviset ovan bekräftar giltigheten för addition, och därmed även för subtraktion.

Vidare,
(se ovan under additionsbeviset)
Och därmed
Det vill säga

Detta bevisar giltigheten för multiplikation vid moduloräkning.

Exempel[redigera | redigera wikitext]

Addition[redigera | redigera wikitext]

Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar

Subtraktion[redigera | redigera wikitext]

Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar

Multiplikation[redigera | redigera wikitext]

Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar

Division[redigera | redigera wikitext]

För division fordras viss försiktighet, vilket t.ex. illustreras av att , men ; det gäller emellertid att om är heltal, och , så där är den största gemensamma delaren till och . Speciellt gäller att om , så närhelst och är relativt prima (saknar gemensamma delare).

Se även[redigera | redigera wikitext]

Referenser[redigera | redigera wikitext]

Böcker[redigera | redigera wikitext]

A. Asratian, A. Björn, B. O. Turesson (2007). Diskret Matematik. Linköping: Matematiska institutionen, Linköpings Universitet 

Webbkällor[redigera | redigera wikitext]

Venn A intersect B.svg Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.