Invers funktion

Invers funktion eller bara invers (av ”invertera” och av latinets invertere ”omvända”) är inom matematiken namnet på en funktion som upphäver en annan funktion. Den inversa funktionen $f^{-1}$ till en funktion $f$ är sådan att $f^{-1}(f(x))=x.$

En funktion f har en invers funktion, om och endast om f är injektiv. För en funktion f, som inte är injektiv kan man betrakta en restriktion till f, det vill säga göra en inskränkning till ett intervall där f är injektiv och på detta begränsade intervall skapa en invers till f. Exempelvis är de trigonometriska funktionerna inte injektiva på hela sin definitionsmängd och har således en invers funktion, arcusfunktion, enbart på ett begränsat intervall.

Inverterbar funktion

En funktion $f\,$ är inverterbar om och endast om den är bijektiv, det vill säga

1. $f(x_{1})=f(x_{2})\ \Rightarrow \ x_{1}=x_{2}\$ för alla $x_{1},x_{2}$ i funktionens definitionsmängd – funktionsvärdena i två punkter ur funktionens definitionsmängd, kan endast vara desamma om punkterna också är desamma (injektivitet).
2. Det finns något $x$ sådant att $f(x)=y$ för alla $y$ i målmängden till $f$ – funktionens värdemängd är densamma som dess målmängd (surjektivitet).

Surjektivitet kan säkerställas genom lämpligt val av målmängd, och innebär oftast inte ett problem.

Exempel

• Funktionerna $f(x)=2x\,$ och $f^{-1}(x)={\frac {x}{2}}$ är varandras inverser.

• Exponentialfunktionen $x\mapsto a^{x}$ med basen a > 0 är invers till logaritmfunktionen

$y\mapsto \log _{a}y,\quad y>0$.

Källor

• R. Creighton Buck, Advanced Calculus, McGraw-Hill Book Company, New York 1956.
• Persson, Arne & Böiers, Lars-Christer (2001). Analys i en variabel (2 uppl). Lund: Studentlitteratur. ISBN 91-44-02056-2 

Se även

• Inverst element
• Inverterbar matris