Ortonormerad bas

Inom linjär algebra kan begreppet ortonormerad bas eller ortonormal bas (ON-bas) ses som ett koordinatsystem där koordinataxlarna är ömsesidigt ortogonala (det vill säga rätvinkliga) enhetsvektorer (det vill säga vektorer av längden 1). En ON-bas bestående av N vektorer spänner upp ett N-dimensionellt euklidiskt rum, vilket innebär att varje punkt eller vektor i rummet kan uttryckas som en linjärkombination av ON-basens vektorer.

Exempel

Euklidiska rum

I det euklidiska rummet $\mathbb{R}^3$ kan varje vektor x = (x₁,x₂,x₃) skrivas som en summa av sina komposanter:

$x = x_1e_1 + x_2e_2 + x_3e_3.\,$

I denna summa ger enhetsvektorerna e₁ = (1,0,0), e₂ = (0,1,0) och e₃ = (0,0,1) upphov till ett rektangulärt koordinatsystem i $\mathbb{R}^3$. I detta sammanhang är det mängden av enhetsvektorer {e₁,e₂,e₃} som utgör en ortonormerad bas för det euklidiska rummet $\mathbb{R}^3.$

Funktionsrum

Mängden {f_n : n ∈ Z} med f_n(x) = e^2πinx ger en ortonormerad bas på det komplexa rummet L²([0,1])

Andra rum

Mängden {e_b : b ∈ B} med e_b(c) = 1 om b=c och 0 i övrigt ger en ortonormerad bas på rummet l²(B).

Definition

Linjärt spann

Låt $A \subseteq X$ vara en delmängd till ett vektorrum X. Det linjära spannet av A är den mängd, span(A), som består av alla linjärkombinationer

$\xi_1x_1 + \cdots + \xi_nx_n,$

vars koefficienter ξ_k är komplexa tal och vars komponenter x_k är element i mängden A.

Total mängd

En delmängd $A\subseteq X$ till ett normerat rum, X, är en total mängd om det slutna höljet av dess linjära spann utgör hela rummet X; det vill säga om

$\overline{span(A)} = X.\,$

Ortonormerad mängd

En delmängd $A \subseteq X$ till ett pre-Hilbertrum X, säges vara en ortonormerad mängd om den inre produkten $\langle x,y\rangle$ mellan två element $x,y \in A$ är

$\langle x,y\rangle = \begin{cases}1 & x = y\\0 & x \neq y.\end{cases}$

Ortonormerad bas

En delmängd $A \subseteq X$ till ett pre-Hilbertrum X, säges vara en ortonormerad bas till X om A är en total, ortonormerad mängd.