Unitär delare

Inom matematiken är ett naturligt tal a unitär delare av ett tal b om a är en delare av b och om a och ${\frac {b}{a}}$ är relativt prima. Sålunda är 5 en unitär delare av 60, eftersom 5 och ${\frac {60}{5}}=12$ endast har 1 som en gemensam faktor, medan 6 är en delare men inte en unitär delare av 60, eftersom 6 och ${\frac {60}{6}}=10$ har en gemensam faktor utöver 1, nämligen 2. 1 är en unitär delare av alla naturliga tal.

Ekvivalent, en given delare a av b är en unitär delare om och endast om varje primtalsfaktor för a har samma multiplicitet i a som i b.

Summan av den unitära delarfunktionen betecknas med den gemena grekiska bokstaven sigma sålunda: σ*(n). Summan av den k:te potensen av de unitära delarna betecknas med σ*_k(n):

$\sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\mid n \atop \gcd(d,n/d)=1}\!\!d^{k}.$

Om de äkta de unitära delarna till ett givet tal adderar fram till detta tal, så är det ett unitärt perfekt tal.

Egenskaper

Antalet unitära delare av ett tal n är 2^k, där k är antalet distinkta primtalsfaktorer av n. Summan av de unitära delarna till n är udda om n är en potens av 2 (inklusive 1), och även annars.

Summan av de unitära delarna till n är en multiplikativ funktion av n, men inte komplett multiplikativ. Dirichlets genererade funktion är

${\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)}{\zeta (2s-k)}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{*}(n)}{n^{s}}}.$

Udda unitära delare

Summan av de k:te potenserna av udda unitära delare är

$\sigma _{k}^{(o)*}(n)=\sum _{{d\mid n \atop d\equiv 1{\pmod {2}}} \atop \gcd(d,n/d)=1}\!\!d^{k}.$

Det är också multiplikativt, med Dirichlets genererade funktion

${\frac {\zeta (s)\zeta (s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta (2s-k)(1-2^{k-2s})}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{k}^{(o)*}(n)}{n^{s}}}.$

Biunitär delare

En delare d av n är en biunitär delare om den största gemensamma den unitära delaren d och n/d. Antalet biunitära delare till n är en multiplikativ funktion av n med genomsnittlig ordning $A\log x$ där

$A=\prod _{p}\left({1-{\frac {p-1}{p^{2}(p+1)}}}\right)\ .$

Ett biunitärt perfekt tal är 1 lika med summan av dess biunitära alikvota delare. De enda biunitära perfekta talen är 6, 60 och 90.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Unitary divisor, 9 oktober 2013.

Tryckta källor

• Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. sid. 84. ISBN 0-387-20860-7  Section B3.
• Paulo Ribenboim (2000). My Numbers, My Friends: Popular Lectures on Number Theory. Springer-Verlag. sid. 352. ISBN 0-387-98911-0 
• Cohen, Eckford (5 maj 1959). ”A class of residue systems (mod r) and related arithmetical functions. I. A generalization of Möbius inversion”. Pacific J. Math. "9": ss. 13–23. 
• Cohen, Eckford (5 maj 1960). ”Arithmetical functions associated with the unitary divisors of an integer”. Mathematische Zeitschrift "74": ss. 66–80. doi:10.1007/BF01180473. 
• Cohen, Eckford (5 maj 1960). ”The number of unitary divisors of an integer”. American mathematical monthly "67": ss. 879–880. 
• Cohen, Graeme L. (5 maj 1990). ”On an integers' infinitary divisors”. Math. Comp. "54": ss. 395–411. doi:10.1090/S0025-5718-1990-0993927-5. 
• Cohen, Graeme L. (5 maj 1993). ”Arithmetic functions associated with infinitary divisors of an integer”. Intl. J. Math. Math. Sci. "16": ss. 373–383. doi:10.1155/S0161171293000456. 
• Finch, Steven (2004). ”Unitarism and Infinitarism”. Arkiverad från originalet den 1 september 2006. https://web.archive.org/web/20060901011841/http://algo.inria.fr/csolve/try.pdf. 
• Ivić, Aleksandar (1985). The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications. A Wiley-Interscience Publication. New York etc.: John Wiley & Sons. sid. 395. ISBN 0-471-80634-X 
• Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, reds (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9 

Externa länkar

• Weisstein, Eric W., "Unitary Divisor", MathWorld.

OEIS-talföljder

•  A034444: σ₀(n)
•  A034448: σ₁(n)
•  A034676 till  A034682: σ₂(n) till σ₈(n)
•  A068068: σ^(o)*₀(n)
•  A192066: σ^(o)*₁(n)