Multiperfekt tal

Från Wikipedia
Hoppa till navigering Hoppa till sök

Inom matematiken är ett multiperfekt tal (även kallat plusperfekt tal) en generalisering av perfekta tal.

För ett givet naturligt tal k, så kallas ett tal n för ett k-perfekt tal om och endast om summan av alla positiva delare av n, sigmafunktionen, σ(n), är lika med kn; ett tal är således perfekt om och endast om det är 2-perfekt. Ett tal som är k-perfekt för ett k kallas för ett multiperfekt tal. I juli 2004 var k-perfekta tal kända för varje värde på k upp till 11.

Det går att bevisa att:

  • För ett givet primtal p, om n är p-perfekt och p inte delar n så är pn (p + 1)-perfekt. Det innebär att ett heltal n är ett 3-perfekt tal delbart med 2 men inte med 4 om och endast om n/2 är ett udda perfekt tal, av vilka inga är kända.
  • Om 3n är 4k-perfekt och 3 inte delar n så är det 3k-perfekt tal.

Minsta k-perfekta talen[redigera | redigera wikitext]

Följande tabell ger en översikt av de minsta k-perfekta talen för k <= 7 (inklusive dess upptäckt): (talföljd A007539 i OEIS)

k Minsta k-perfekta tal Upptäckt
1 1 Forntiden
2 6 Forntiden
3 120 Forntiden
4 30240 René Descartes (cirka 1638)
5 14182439040 René Descartes (cirka 1638)
6 154345556085770649600 Robert Daniel Carmichael (1907)
7 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 TE Mason (1911)
8 2,34111439263306338... *10^161 Paul Poulet (1929)[1]

Till exempel är 120 3-perfekt eftersom delarsumman av 120 är:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360 = 3 × 120.

Egenskaper[redigera | redigera wikitext]

  • Antalet multiperfekta tal lägre än X är för alla positiva ε.[2]

Specifika värden av k[redigera | redigera wikitext]

Perfekta tal[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Perfekt tal

Ett tal n med σ(n) = 2n är perfekt.

Triperfekta tal[redigera | redigera wikitext]

Huvudartikel: Triperfekt tal

Ett tal n med σ(n) = 3n är triperfekt. Ett udda triperfekt tal måste överstiga 1070, ha minst 12 olika primtalsfaktorer, där den största överstiger 105.[3]

Källor[redigera | redigera wikitext]

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Multiply perfect number, 11 november 2013.
  1. ^ Flammenkamp
  2. ^ Sándor et al (2006) p.105
  3. ^ Sandor et al (2006) pp.108-109

Bokkällor[redigera | redigera wikitext]

Externa länkar[redigera | redigera wikitext]