Laguerrepolynom

De fem första Laguerrepolynomen för $\alpha =0$.

Laguerrepolynom är ett matematiskt begrepp, där n te Laguerrepolynomet $L_{n}^{\alpha }$ som svarar mot parametern $\alpha$, definierat enligt

$L_{n}^{\alpha }\left(x\right)={\frac {x^{-\alpha }e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{\alpha +n}e^{-x}\right),$

där $\alpha$ är ett reellt tal så att $\alpha >-1$.

För att följa den vanliga konventionen för definitionen av ortogonala polynom så kan man säga att Laguerrepolynomen svarar mot intervallet $0\leq x<\infty$ samt viktfunktionen $w\left(x\right)=x^{\alpha }e^{-x}$.

I viss litteratur förekommer benämningarna Laguerrepolynom samt generaliserade Laguerrepolynom för fallen $\alpha =0$ respektive $\alpha \neq 0$.

Olikheten för parametern $\alpha$ som förekommer i definitionen ovan, måste i allra högsta grad uppfyllas. För att förstå nödvändigheten i detta, förutsätt för en stund att olikheten inte uppfylls. Då kommer viktfunktionen $w\left(x\right)=x^{\alpha }e^{-x}$ inte vara integrerbar i origo, så att integralerna som definierar både ortogonalitet och norm för Laguerrepolynomen kommer att divergera.

Laguerrepolynomen satisfierar Laguerreekvationen:

$x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+n\,y=0.\,$

Ett användningsområde för Laguerrepolynomen finns inom kvantmekaniken, där de förekommer då man behandlar väteatomens tillstånd.

Laguerrepolynomen är uppkallade efter Edmond Laguerre (1834-1886).

De första Laguerrepolynomen

n	$L_{n}(x)\,$
0	$1\,$
1	$-x+1\,$
2	${\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)\,$
3	${\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,$
4	${\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,$
5	${\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,$
6	${\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,$

Alternativa definitioner

Man kan definiera Laguerrapolynomen genom att först definierar

$L_{0}(x)=1\,$

$L_{1}(x)=1-x\,$

och sedan använda följande differensekvation för alla k ≥ 1:

$L_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}\left((2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)\right).$

En sluten formel är

$L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}.$

Rodirgues formel för dem är

$L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)=x^{-\alpha }~{\frac {({\frac {d}{dx}}-1)^{n}}{n!}}~x^{n+\alpha }.$

Laguerrepolynomens exponentiella genererande funktion är

$\sum _{n}^{\infty }t^{n}L_{n}(x)={\frac {1}{1-t}}~e^{\frac {-tx}{1-t}}~.$

Egenskaper

• De första Laguerrepolynomen med parametern α är

${\begin{aligned}L_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\L_{1}^{(\alpha )}(x)&=-x+\alpha +1\\L_{2}^{(\alpha )}(x)&={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}\\L_{3}^{(\alpha )}(x)&={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}\end{aligned}}.$

• $L_{n}^{(\alpha )}(0)={n+\alpha \choose n}\approx {\frac {n^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}.$

• L_n^(α) har n reella, strikt positiva rötter som är alla i intervallet $\left(0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}\right].$

• Laguerrepolynomens asymptotiska tillväxt för stora n fixerat α och x > 0, ges av

$L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\cos \left(2{\sqrt {nx}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)\right)+O\left(n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {3}{4}}}\right)$

$L_{n}^{(\alpha )}(-x)={\frac {(n+1)^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-{\frac {x}{2}}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}e^{2{\sqrt {x(n+1)}}}\cdot \left(1+O\left({\frac {1}{\sqrt {n+1}}}\right)\right)$

som kan sammanfattas som

${\frac {L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{n}}\right)}{n^{\alpha }}}\approx e^{\frac {x}{2n}}\cdot {\frac {J_{\alpha }\left(2{\sqrt {x}}\right)}{{\sqrt {x}}^{\alpha }}}$

där $J_{\alpha }$ är Besselfunktionen.

Identiteter

Additionsformeln för Laguerrepolynomen är

$L_{n}^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y)$.

Laguerrepolynomen satisfierar ett flertal intressanta relationer:

$L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{n-i}^{(\alpha +i)}(y){\frac {(y-x)^{i}}{i!}}$

$L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)$

$L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n-i-1 \choose n-i}L_{i}^{(\beta )}(x)$

$L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n \choose n-i}L_{i}^{(\beta -i)}(x).$

Dessutom är

${\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=L_{n}^{(\alpha +1)}(x)-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}L_{n-j}^{(\alpha -k+j)}(x)\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha )}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-xL_{n-1}^{(\alpha +1)}(x),\\[10pt]&{\text{or }}{\frac {x^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{n+i \choose i}{n+\alpha \choose k-i}L_{n+i}^{(\alpha -k)}(x)\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]xL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n-x)L_{n}^{(\alpha )}(x)\end{aligned}}$

och genom att kombinera dem kan man bevisa att

${\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\left(2+{\frac {\alpha -1-x}{n}}\right)L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-\left(1+{\frac {\alpha -1}{n}}\right)L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]&={\frac {\alpha +1-x}{n}}L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-{\frac {x}{n}}L_{n-2}^{(\alpha +2)}(x).\end{aligned}}$

En intressant identitet för heltal i och n är

${\frac {(-x)^{i}}{i!}}L_{n}^{(i-n)}(x)={\frac {(-x)^{n}}{n!}}L_{i}^{(n-i)}(x)$

som kan användas till att härleda partialbråksuppdelningen

${\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)}{n+\alpha \choose n}}=1-\sum _{j=1}^{n}{\frac {x^{j}}{\alpha +j}}{\frac {L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}}=1-\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j}{\frac {j}{\alpha +j}}{n \choose j}L_{n}^{(-j)}(x)=1-x\sum _{i=1}^{n}{\frac {L_{n-i}^{(-\alpha )}(x)L_{i-1}^{(\alpha +1)}(-x)}{\alpha +i}}.$

Multiplikationsteorem

Två multiplikationsteorem av Erdélyi är

$t^{n+1+\alpha }e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=n}{k \choose n}\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{k-n}L_{k}^{(\alpha )}(z)$

och

$e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=0}{\frac {(1-t)^{k}z^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha +k)}(z).$

Derivator

Laguerrepolynomens derivator kan räknas med hjälp av

${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)\,.$

Dessutom gäller följande ekvation

${\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose k}x^{\alpha -k}L_{n}^{(\alpha -k)}(x)$

som kan generaliseras till

$L_{n}^{(\alpha ')}(x)=(\alpha '-\alpha ){\alpha '+n \choose \alpha '-\alpha }\int _{0}^{x}{\frac {t^{\alpha }(x-t)^{\alpha '-\alpha -1}}{x^{\alpha '}}}L_{n}^{(\alpha )}(t)\,dt.$

Derivatan i förhållande till andra variabeln α är

${\frac {d}{d\alpha }}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{n-i}}.$

Laguerrepolynomen satisfierar differentialekvationen

$xL_{n}^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )\prime }(x)+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0.\,$

Ortogonalitet

Laguerrepolynomen satisfierar ortogonalitetsrelationen

$\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m}$

som följer ur

$\int _{0}^{\infty }x^{\alpha '-1}e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)dx={\alpha -\alpha '+n \choose n}\Gamma (\alpha ').$

Relation till andra funktioner

Laguerrepolynomen är relaterade till generaliserade hypergeometriska funktionen enligt

$L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)$

där $(a)_{n}$ är Pochhammersymbolen.

Hermitepolynomen är ett specialfall av Laguerrepolynomen:

$H_{2n}(x)=(-1)^{n}\ 2^{2n}\ n!\ L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})$

och

$H_{2n+1}(x)=(-1)^{n}\ 2^{2n+1}\ n!\ x\ L_{n}^{(1/2)}(x^{2}).$

Oändliga serier som innehåller Laguerrepolynom

Anta att funktionen f har serieexpansionen

$f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{i}^{(\alpha )}L_{i}^{(\alpha )}(x).$

Då är

$f_{i}^{(\alpha )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{i+\alpha \choose i}}\cdot {\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot f(x)\,dx.$

Monom kan skrivas som

${\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}L_{i}^{(\alpha )}(x).$

Binomialkoefficienterna har expansionen

${n+x \choose n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\alpha ^{i}}{i!}}L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha )$

som leder till formeln

$e^{-\gamma x}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{(1+\gamma )^{i+\alpha +1}}}L_{i}^{(\alpha )}(x)\qquad \left({\text{konvergerar om }}\operatorname {Re} {(\gamma )}>-{\frac {1}{2}}\right).$

Ofullständiga gammafunktionen har representationen

$\Gamma (\alpha ,x)=x^{\alpha }e^{-x}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{1+i}}\qquad \left(\Re (\alpha )>-1,x>0\right).$

En annan oändlig serie är

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)r^{n}}{\Gamma \left(1+\alpha +n\right)}}={\frac {\exp \left(-{\frac {\left(x+y\right)r}{1-r}}\right)I_{\alpha }\left({\frac {2{\sqrt {xyr}}}{1-r}}\right)}{\left(xyr\right)^{\frac {\alpha }{2}}\left(1-r\right)}},\quad ,\alpha >-1,\left|r\right|<1.$

Övrigt

Följande olikhet för Laguerrepolynomen gäller:

$L_{n}^{(\alpha )}(x)^{2}-L_{n-1}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\alpha +n-1 \choose n-k}{n{n \choose k}}}L_{k}^{(\alpha -1)}(x)^{2}>0.$

Följande integral är viktig i vissa fysikaliska applikationer av Laguerrepolynom:

$\int _{0}^{\infty }x^{\alpha +1}e^{-x}\left[L_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).$

Se även

• Q-Laguerrepolynom

Referenser

• Gerald B. Folland, Fourier analysis and its applications, Brooks/Cole publishing company, 1992.
• B. H. Bransden and C. J. Joachain, Quantum mechanics, second edition, Prentice hall, Pearson Education, 2000.
• Donald A. McQuarrie, Mathematical methods for scientists and engineers, University science books, 2003.

Matematikportalen – portalen för matematik på svenskspråkiga Wikipedia.