Stone–Weierstrass sats

Från Wikipedia
(Omdirigerad från Stone-Weierstrass sats)
Hoppa till: navigering, sök
Bild över Bernsteinpolynomen (...), (.-.) och (---) associerade med cosinus-funktionen (heldragen kurva).

Inom matematiken -- mer specifikt inom matematisk analys -- är Stone-Weierstrass sats ett viktigt resultat som rör approximation av kontinuerliga funktioner.

Den klassiska varianten av satsen, kallad Weierstrass approximationssats, visades först av Karl Weierstrass år 1885 och säger att det, för varje kontinuerlig funktion

går att finna en sekvens av polynom

som konvergerar likformigt mot funktionen

Weierstrass approximationssats generaliserades senare av Marshall Stone, som visade ett liknande resultat för kontinuerliga funktioner definierade på ett godtyckligt kompakt Hausdorffrum. (Det slutna och begränsade intervallet är ett exempel på ett kompakt Hausdorffrum.) Stone-Weierstrass sats visar även att man kan approximera kontinuerliga funktioner med andra funktioner än polynom.

Weierstrass ursprungliga resultat lyder som följer:

Låt vara en kontinuerlig funktion. Det existerar en sekvens av polynom som är sådana att

En nackdel med Weierstrass approximationssats är att den endast garanterar existensen av approximerande polynom. Det finns emellertid ett bevis av satsen som ger en explicit konstruktion av sekvensen . Detta bevis, som ges nedan, är ett exempel på hur man kan använda sannolikhetsteori för att bevisa resultat inom matematisk analys.

Sannolikhetsteoretiskt bevis av Weierstrass approximationssats[redigera | redigera wikitext]

Vi börjar med att konstruera en sekvens av polynom; de så kallade Bernsteinpolynomen. Därefter visar vi att de fyller sin funktion.

Välj ett godtyckligt heltal och ett godtyckligt tal Låt

vara oberoende, diskreta, stokastiska variabler, alla med samma frekvensfunktion:

Summan av dessa stokastiska variabler är en diskret stokastisk variabel, vars frekvensfunktion är

där heltalet och symbolen är en så kallad binomialkoefficient.

Kvoten antar värden som ligger i intervallet vilket innebär att vi kan applicera funktionen på dessa värden. Detta ger upphov till en diskret stokastisk variabel, som antar värden ur mängden . Väntevärdet för denna stokastiska variabel är det reella talet

Den kända frekvensfunktionen för summan låter oss uttrycka väntevärdet som

Funktionen definierad av

är ett polynom av grad . Detta polynom kallas för Bernsteinpolynomet av grad n, associerat med funktionen f.

Eftersom heltalet valdes godtyckligt, har vi härmed lyckats konstruera en sekvens av polynom.

De tre första Bernsteinpolynomen är:

Vi skall nu visa att sekvensen av Bernsteinpolynom konvergerar likformigt mot funktionen , vilket, med vår konstruktion av Bernsteinpolynomen som väntevärden av en sekvens av stokastiska variabler innebär att gränsvärdet

För att göra detta väljer vi ett godtyckligt tal och visar att

där är ett godtyckligt valt positivt tal och är ett positivt tal som bara beror på talet och inte på talet . Därmed är talet

en övre begränsning till mängden av tal

Då är talet

större än den minsta övre begränsningen (supremum) till mängden , det vill säga

Denna övre begränsning är giltig för varje val av heltalet . Därför kan vi välja detta heltal så stort — större än ett visst heltal — att talet

Då får vi resultatet att det för varje tal går att finna ett heltal som är sådant att

för varje heltal Detta är detsamma som att säga att

vilket i sin tur är samma sak som att säga att sekvensen av Bernsteinpolynom konvergerar likformigt mot den kontinuerliga funktionen på intervallet .

Det är endast en länk som fattas för att ovanstående resonemang skall bli korrekt: Vi måste visa att vi, för varje heltal kan begränsa väntevärdet

uppåt enligt

där är ett godtyckligt valt positivt tal och är ett positivt tal som bara beror på talet och inte på talet .

Jensens olikhet tillämpad på den konvexa funktionen

låter oss begränsa väntevärdet uppåt med

Härnäst väljer vi ett godtyckligt reellt tal och splittrar upp väntevärdet

i en summa bestående av två termer, beroende på om den stokastiska variabeln

är större eller mindre än talet :

Eftersom funktionen

är kontinuerlig på det slutna och begränsade intervallet så är den likformigt kontinuerlig på detta intervall och värdet

är ändligt.

Välj nu ett godtyckligt tal . Den likformiga kontinuiteten ger oss då ett tal — som endast beror på talet — som är sådant att, om

så är den stokastiska variabeln

Det är därför lämpligt att låta det tidigare godtyckligt valda talet talet vara just detta tal , vilket innebär att vi kan uppskatta det första väntevärdet i ovanstående summa enligt

För att uppskatta den andra summan använder vi Triangelolikheten för reella tal och de faktum att

samt

för att få

där vi har använt oss av sambandet

mellan väntevärde och sannolikhet, giltigt för varje mätbar mängd . (Mängden

är mätbar.)

Markovs olikhet låter oss uppskatta sannolikheten

enligt:

Eftersom väntevärdet för den stokastiska variabeln är

,

så är väntevärdet

där betecknar variansen för den stokastiska variabeln och kan beräknas exakt:

En kvadratkomplettering visar att det för varje värde på talet gäller att

vilket låter oss uppskatta sannolikheten

enligt

Sammanfattningsvis har vi funnit den sökta övre begränsningen av väntevärdet

Därmed är beviset av Weierstrass approximationssats fullbordat.

Stone-Weierstrass teorem för komplex-värda funktioner[redigera | redigera wikitext]

Låt vara ett kompakt Hausdorffrum och låt vara en sluten, komplex delalgebra till mängden av alla komplex-värda kontinuerliga funktioner Om algebran separerar punkter i och är sluten under komplex-konjugering, så gäller endera av följande två fall:

  • Det finns en punkt som är sådan att

En delmängd till mängden separerar punkter i om det, för varje val av två distinkta punkter och i Hausdorffrummet går att finna en funktion som skiljer på dessa punkter i den meningen att de komplexa talen och är olika.

Stone-Weierstrass teorem medför Weierstrass resultat: Mängden av alla polynom på det kompakta Hausdorffrummet är en delalgebra av de kontinuerliga funktionerna, eftersom summor och produkter av polynomer också är ett polynom. Vidare är den konstanta funktionen 1 ett polynom av grad 0 utan nollställe, och givet någon punkt x i ett intervall finns det polynom sådana att .

Stone–Weierstrass sats har stor betydelse inom många delar av den matematiska analysen.

Lokal-kompakt version av Stone-Weierstrass teorem[redigera | redigera wikitext]

Det finns även en variant av Stone-Weierstrass teorem som gäller för lokalt kompakta Hausdorffrum som inte är kompakta.

Låt vara ett lokal-kompakt Hausdorffrum som inte är kompakt och låt vara en sluten delalgebra av mängden . Om mängden separerar punkter i så gäller endera av följande två fall:

  • .
  • Det finns en punkt sådan att

.

Mängden består av alla kontinuerliga funktioner

som försvinner i oändligheten, i den meningen att

är en kompakt delmängd av för varje val av det reella talet .