Binomialfördelning

Från Wikipedia

Galtons bräda ger en normalfördelning

En binomialfördelning är en diskret fördelning (begrepp inom sannolikhetsteori och matematisk statistik) som hanterar upprepade (diskreta) försök med fix sannolikhet.

Om en stokastisk variabel X är binomialfördelad, med n=antalet försök och p=sannolikheten att lyckas i varje försök, skriver man :

$X \in Bin(n,p)$

X har sannolikhetsfunktionen

$p_X(k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}.$

Där p är sannolikheten att händelsen skall inträffa och 1 - p = q således sannolikheten att händelsen inte skall inträffa. Som synes dyker binomialkoefficienterna upp i fördelningen.

Binomialfördelningen kan under vissa omständigheter approximeras med andra fördelningar. Tumreglerna är att om $p < 0,1$ kan fördelningen approximeras med poissonfördelningen Po(np), eller om $n p (1 - p) > 10$ med normalfördelningen N( $n p$ , $\sqrt{npq}$ ).

Exempel: statistikerns favoritexempel är urnmodeller som bygger på urnor med svarta och vita kulor. Sannolikheten att dra en vit kula vid en slumpmässig dragning är p. Sannolikheten att man drar exakt k stycken vita kulor vid n försök om man har s stycken svarta och v st vita kulor i en urna och lägger tillbaka kulorna mellan dragningarna (dragning med återläggning) ges då av sannolikhetsfunktionen ovan med

$p = {v \over {s+v}} \quad och \quad q = 1 - p,$

där p och q ges genom den klassiska sannolikhetsdefinitionen.

Exempel 2: Om man kastar en tärning tre gånger, och tärningen är välgjord, så att sannolikheten att få en sexa är 1/6, blir sannolikheten att få sexa två gånger

$P = {3 \choose 2} \left( {1 \over 6} \right)^2 {5 \over 6} = {5 \over 72}.$