Riesz representationssats

Från Wikipedia
Hoppa till: navigering, sök

Riesz representationssats är ett samlingsnamn för ett antal satser inom funktionalanalysen. Det de har gemensamt är att de beskriver hur dualrummet för något normerat vektorrum kan representeras som ett visst Banachrum. Alltså givet ett normerat vektorrum V, så ger Riesz representationssats en isometrisk isomorfism från  V^* till X, där X är något annat Banachrum.

Riesz representationssats (funktionaler på Hilbertrum)[redigera | redigera wikitext]

Varje begränsad linjär funktional (f) på ett Hilbertrum (H) kan representeras i term av Hilbertrummets inre produkt:

\exists! \, x_f \in H, \quad \forall x \in H, \qquad f(x) = \langle x, x_f \rangle.

Det unika elementet x_f benämns funktionalens representant i Hilbertrummet och har en norm som sammanfaller med normen av funktionalen:

\Vert x_f \Vert = \Vert f \Vert.

Diskussion[redigera | redigera wikitext]

Om Hilbertrummet innehåller ett element (z) som representerar den linjära funktionalen via rummets inre produkt, så som Riesz representationssats föreskriver, vilka egenskaper har detta element?

  • För det första kan det inte vara lika med noll-elementet, eftersom funktionalen då måste vara lika med noll-funktionalen:
 z = 0 \quad \Longrightarrow \quad \forall \, x \in H \quad \langle x, z \rangle = 0 \quad \Longrightarrow \quad  \forall \, x \in H \quad f(x) = 0 \quad \Longrightarrow \quad f = 0.
  • För det andra, om x är ett element i funktionalens nollrum, så är z ortogonalt mot detta element; det vill säga att z är ett element i det ortogonala komplementet till funktionalens nollrum.

Vi bör därför söka efter det speciella elementet x_f i nollrummets ortogonala komplement; därför studerar vi funktionalens nollrum.

Bevis av Riesz representationssats[redigera | redigera wikitext]

Det finns representanter[redigera | redigera wikitext]

Nollrummet till en funktional (f) på ett Hilbertrum (H) är en mängd som består av alla de element i Hilbertrummet som avbildas på det komplexa talet noll:

N_f = \{x \in H : f(x) = 0\};

antingen är detta en äkta delmängd av Hilbertrummet, eller så är det lika med hela Hilbertrummet:

N_f  \subset  H  \qquad eller \qquad N_f = H.

Om nollrummet är lika med hela Hilbertrummet, så avbildas varje element i det på talet noll; funktionalen har därför samma effekt på Hilbertrummets element, som den inre produkten med avseende på Hilbertrummets noll-element har:

N_f = H \quad \Longrightarrow \quad \forall \, x \in H, \quad f(x) = 0 = \langle x, 0 \rangle;

det speciella elementet är i detta fall Hilbertrummets noll-element:

x_f = 0.\,

Om nollrummet är lika med en äkta delmängd av Hilbertrummet, så innehåller Hilbertrummet minst ett element (w) som inte avbildas på det komplexa talet noll:

N_f \subset H \quad \Longrightarrow \quad \exists \, w \in H \quad f(w) \neq 0.

Det faktum att funktionalen är linjär gör att dess nollrum är ett underrum till Hilbertrummet; det faktum att funktionalen är begränsad gör att den är kontinuerlig, vilket i sin tur medför att nollrummet är en sluten delmängd av Hilbertrummet. Det finns en sats (Ortogonal projektion i Hilbertrum) som säger att om ett Hilbertrum innehåller ett slutet underrum så kan Hilbertrummet skrivas som en direkt summa av detta underum och dess ortogonala komplement. Eftersom nollrummet är ett slutet underrum till Hilbertrummet så kan vi hävda att varje element i Hilbertrummet antingen ligger i nollrummet eller i dess ortogonala komplement; därför ligger det speciella elementet w i nollrummets ortogonala komplement. Med hjälp av detta element bildar vi en avbildning som associerar element i Hilbertrummet med varandra:

Tx = f(x)w - f(w)x, \qquad x \in H.

Värdemängden för denna avbildning är lika med nollrummet N_f, vilket följande beräkning visar:

f(Tx) = f(x)f(w) - f(w)f(x) = 0, \qquad x \in H.

Det speciella elementet w ligger i nollrummets ortogonala komplement, vilket innebär att varje inre produkt mellan w och Tx är lika med noll:

\langle w, Tx\rangle = 0, \qquad x \in H.

Detta ger oss en ekvation som innehåller det komplexa talet f(x) och den inre produkten mellan elementen w och x:

0 = (w, Tx) = (w,f(x)w) - (w,f(w)x) = f(x)(w,w) - f(w)(w,x) = f(x)\Vert w \Vert^2 - f(w)(w,x), \qquad x \in H.

Ur denna ekvation kan vi lösa ut f(x) för att få en representation av det som en inre produkt:

f(x) = \frac{f(w)}{\Vert w \Vert^2} \, \langle w, x\rangle = \left\langle \frac{f(w)}{\Vert w \Vert^2} \, w, x\right\rangle = \left\langle x, \frac{\overline{f(w)}}{\Vert w \Vert^2} \, w\right\rangle = \langle x, z \rangle, \qquad z = \frac{\overline{f(w)}}{\Vert w \Vert^2} \, w.

Vi har lyckats visa att Hilbertrummet innehåller ett element (\exists \, z \in H) som är sådant att varje komplext tal f(x) kan skrivas som den inre produkten mellan x och z:

\exists \, z \in H, \quad \forall \, x \in H \qquad f(x) = \langle x, z\rangle.

Det återstår att visa att Hilbertrummet innehåller ett enda sådant element (\exists! \, z \in H) som representerar funktionalen f – vilket därför förtjänar en beteckning som indikerar detta, exempelvis x_f – och att normen av detta element sammanfaller med normen av funktionalen:

\exists! \, x_f \in H, \quad \forall \, x \in H, \qquad f(x) = \langle x, x_f \rangle \qquad och \qquad \Vert  x_f \Vert = \Vert f \Vert.

Det finns endast en representant[redigera | redigera wikitext]

Vi antar att det finns två eller fler element likanade z och visar att detta leder fram till en motsägelse.

Låt därför u och v vara två element i Hilbertrummet, som båda representerar samma begränsade linjära funktional f:

\exists \, u,v \in H, \quad \forall \, x \in H, \qquad \langle x,u \rangle = f(x) = \langle x, v \rangle.

På grund av att den inre produkten är linjär, kan vi dra slutsatsen att den inre produkten mellan det godtyckliga elementet x och det speciella elementet u-v är lika med noll:

\forall \, x \in H, \qquad \langle x, u-v \rangle = 0.

Om vi väljer x till att vara just differensen u-v, så ser vi att normen av u-v är lika med noll, vilket endast kan inträffa om u-v är lika med Hilbertrummets noll-element:

x = u-v \quad \Longrightarrow \quad 0 = \langle x, u-v \rangle = \langle u-v, u-v \rangle = \Vert u-v \Vert^2 \quad \Longrightarrow \quad u-v = 0 \quad \Longrightarrow \quad u = v.

Vi har härmed nått fram till en motsägelse:

u = v \qquad och \qquad u \neq v.

Det var därför fel av oss att anta att det fanns två eller fler speciella element som representerade den begränsade linjära funktionalen f. Härmed har vi visat att det bara finns ett speciellt element i Hilbertrummet som representerar funktionalen f, och vi döper detta element till x_f och kallar det för representanten till funktionalen f:

\exists ! \, x_f \in H, \quad \forall \, x \in H, \qquad f(x) = \langle x, x_f \rangle.

Isometri[redigera | redigera wikitext]

Det återstår att bevisa att normen av representanten är lika med normen av funktionalen:

\Vert x_f \Vert = \Vert f \Vert.

I det fall då f är noll-funktionalen har vi sett att dess representant är Hilbertrummets noll-element; båda dessa objekt har normer som är lika med noll:

f = 0 \quad \Longrightarrow \quad \Vert f \Vert = 0 \qquad och \qquad x_f = 0 \quad \Longrightarrow \quad \Vert x_f \Vert = 0.

Vi kan därför utgå från att f inte är lika med noll-funktionalen. Då är dess representant inte lika med noll-elementet, vilket innebär att dess norm är ett positivt tal:

f \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad x_f \neq 0 \quad \Longrightarrow \quad 0 < \Vert x_f \Vert^2 = \langle x_f, x_f \rangle = f(x_f).

Det faktum att funktionalen f är begränsad innebär att det finns ett positivt tal (C) som, tillsammans med normen av elementet x, ger en övre begränsning av absolutbeloppet av det komplexa talet f(x):

 \exists \, C>0, \quad \forall \, x \in H, \qquad \vert f(x) \vert \leq C \, \Vert x \Vert.

Det kan finnas många sådana positiva tal C; det minsta av dessa benämner man normen av funktionalen f och skriver \Vert f \Vert:

\Vert f \Vert = \inf \{C>0 : \forall \, x \in H, \, \vert f(x) \vert \leq C \, \Vert x \Vert\}.

Tillsammans med ovanstående framställning av det positiva talet f(x_f) kan vi dra slutsatsen att normen av representanten inte är större än normen av funktionalen som den representerar:

0 < \Vert x_f \Vert^2 = f(x_f) = \vert f(x_f) \vert \leq \Vert f \Vert \, \Vert x_f \Vert \quad \Longrightarrow \quad \Vert x_f \Vert \leq \Vert f \Vert.

För att bevisa att vi även har en olikhet åt andra hållet noterar vi att normen av funktionalen även kan uppfattas som supremum av en viss mängd av positiva tal:

\Vert f \Vert = \sup_{\Vert x \Vert \neq 0} \, \frac{\vert f(x) \vert}{\Vert x \Vert} = \sup_{\Vert x \Vert = 1} \, \vert f(x)\vert.

(Supremum för en mängd av reella tal (C) är den minsta övre begränsningen av talen.)

Tillsammans med den berömda Cauchy–Schwarz olikhet kan vi dra slutsatsen att normen av funktionalen inte är större än normen av dess representant:

\vert f(x) \vert = \vert \langle x,x_f \rangle \vert \leq \{Cauchy-Schwarz \, olikhet\} \leq \Vert x \Vert \, \Vert x_f \Vert \quad \Longrightarrow \quad \frac{\vert f(x) \vert}{\Vert x \Vert} \leq \Vert x_f \Vert, \qquad \Vert x \Vert \neq 0.

Normen av funktionalens representant är tydligen en övre begränsning till kvoterna \frac{\vert f(x) \vert}{\Vert x \Vert}; den måste därför vara större än, eller möjligen lika med, den minsta av alla övre begränsningar till sådana kvoter, det vill säga:

\Vert f \Vert = \sup_{\Vert x \Vert \neq 0} \, \frac{\vert f(x) \vert}{\Vert x \Vert} \leq \Vert x_f \Vert.

Våra beräkningar visar att normen av funktionalen sammanfaller med normen av dess representant:

\Vert x_f \Vert \leq \Vert f \Vert \quad och \quad \Vert f \Vert \leq \Vert x_f \Vert \quad \Longrightarrow \quad \Vert f \Vert = \Vert x_f \Vert.

Härmed är beviset av Riesz representationssats fullbordat.

Konsekvenser[redigera | redigera wikitext]

Om H är ett Hilbertrum så kan man bunta ihop alla begränsade linjära funktionaler på H till en mängd som man brukar beteckna med symbolen H^*. (Läs: H-stjärna) Denna mängd kallar man dualrummet till Hilbertrummet H; Riesz representationssats sammanfattas då i en enda ekvation:

H^* = H.\,

Ett sätt att tolka denna ekvation på är att det finns lika många begränsade linjära funktionaler på ett Hilbertrum som det finns element i Hilbertrummet; ett Hilbertrum har väldigt många element. Riesz representationssats visar för oss att det finns tillräckligt många begränsade linjära funktionaler (åtminstone på Hilbertrum) för att det skall vara meningsfullt att studera dem.

Man kan fråga sig om det bara är på Hilbertrum som det finns många begränsade linjära funktionaler, eller om det kanske finns många sådana funktionaler på mer generella rum? En av konsekvenserna till den berömda Hahn-Banachs sats säger att det finns väldigt många begränsade linjära funktionaler på Banachrum; ett Hilbertrum är ett specialfall av ett Banachrum; i allmänhet saknar Banachrum en inre produkt, men när det har en så blir det ett Hilbertrum.

Riesz representationssats för L^p-rum[redigera | redigera wikitext]

Låt tripeln (\Omega,\mathcal{F},\mu) vara ett måttrum bestående av en icke-tom mängd (\Omega), en sigma-algebra (\mathcal{F}) bestående av delmängder till \Omega, och ett sigma-ändligt mått (\mu) på denna mängd – ett mått på \Omega är sigma-ändligt om \Omega kan delas upp i uppräkneligt många bitar som var och en har ett ändligt \mu-mått. Låt vidare p och q vara två konjugerade exponenter; det vill säga att de är två positiva tal som är relaterade till varandra via följande ekvation:

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.

Mängden L^p(\mu) består av alla komplexvärda funktioner (x) på mängden \Omega som är sådana att den p:te potensen av deras absolutbelopp är integrerbara funktioner med avseende på måttet \mu:

x \in L^p(\mu) \quad \Longleftrightarrow \quad \int_{t \in \Omega} \vert x(t) \vert^p \, d\mu(t) < \infty; \qquad (x : \Omega \longrightarrow \mathbb{C})

mer korftattat kan man säga att rummet L^p består av alla p-integrerbara funktioner.

Satsens lydelse[redigera | redigera wikitext]

Om talet p är större än, eller lika med, talet ett, så representeras varje begränsad komplex-värd linjär funktional (f) på rummet L^p(\mu)\, av en unik funktion (x_f) i rummet L^q(\mu)\,:

f(x) = \int_X x(t)\overline{x_f(t)} \, d\mu(t), \qquad x \in L^p(\mu);

vidare sammanfaller normen av funktionalen med normen av dess representant:

\Vert f \Vert = \Vert x_f \Vert.

Symbolen \overline{x_f(t)} betecknar konjugatet av det komplexa talet x_f(t):

x_f(t) = a + ib \quad \Longrightarrow \quad \overline{x_f(t)} = a - ib.

Anmärkning[redigera | redigera wikitext]

Om talet p är lika med talet ett, så är dess motsvarande konjugerade exponent q lika med 'talet' oändligheten; Familjen L^{\infty}(\mu) består (ungefär) av alla begränsade komplexvärda mätbara funktioner på mängden \Omega; mer exakt är L^\infty(\mu) följande samling av funktioner:

x \in L^\infty(\mu) \quad \Longleftrightarrow \quad \inf\{N \quad : \quad \mu(\{t \in \Omega : \vert x(t) \vert > N\})=0 \quad \} \quad < \quad \infty

Vi kan notera att om den komplexvärda funktionen x på mängden \Omega är mätbar, så kommer mängden \{t \in \Omega : \vert x(t) \vert > N\} att vara ett element i sigma-algebran \mathcal{F}, för varje val av det positiva talet N; det är därför tillåtet att applicera måttet \mu på denna mängd.

Diskussion[redigera | redigera wikitext]

  • Man kan visa att ett L^p-rum är ett Hilbertrum om, och endast om, exponenten p är lika med talet två, i vilket fall integralen i representationen ovan utgör en inre produkt på rummet L^2.
  • Uttryckt i termer av dualrum kan satsen sammanfattas av en enda ekvation:
(L^p)^* = L^q.\,

Riesz representationssats för positiva linjära funktionaler på  C_c(X) (Riesz-Markovs sats)[redigera | redigera wikitext]

Låt X vara ett lokalt kompakt Hausdorffrum. Med  C_c(X) betecknas mängden av kontinuerliga funktioner med kompakt stöd. Utrustat med normen  ||f|| = \sup_{x \in X}|f(x)| är detta ett normerat vektorrum. Riesz-Markovs sats säger att givet en positiv linjär funktional  \Lambda  C_c(X) , så existerar en σ-algebra S, innehållande Borel  \sigma -algebran B(X), och ett mått \mu\, på S så att  \Lambda(f) = \int f d\mu \, Måttet \mu uppfyller dessutom:

  • \mu(K) < \infty för alla kompakta  K \subset X
  • \mu(E) = \inf\{\mu(U): E \subset U, U \mbox{ open } \} för alla  E \in S
  • \mu(E) = \sup\{\mu(K): K \subset E, U \mbox{ kompakt } \} om E antingen är öppen eller  \mu(E)< \infty ,

med andra ord \mu\, är ett Radonmått.

Riesz representationssats för  C_0(X) [redigera | redigera wikitext]

X betecknar fortfarande ett lokalt kompakt Hausdorffrum. Låt  C_0(X) beteckna mängden av kontinuerliga funktioner på X, sådana att, givet ε > 0, så finns en kompakt mängd K, sådan att för alla funktioner  f \in  C_0(X) , gäller det att  f(X \setminus K) \subset  (-\epsilon,\epsilon) . Man kan visa att  C_0(X) är ett Banachrum och att  C_c(X) är tät i  C_0(X) . Låt Λ vara en kontinuerlig linjär funktional på  C_0(X) . Riesz representationssats säger nu att det existerar ett unikt mått med tecken  \mu på Borel σ-algebran B(X) så att  \Lambda(f) = \int f d\mu .

Låt  \mu = \mu^+ - \mu^- vara Jordanuppdelningen av  \mu . Man kan nu visa att mängden av mått med tecken på Borel σ-algebran B(X) bildar ett vektorrum med normen ||\mu|| = \mu^+(X) + \mu^-(X) , även kallad den totala variationen av μ. Rummet är även ett Banachrum under denna norm. Måttet med tecken \mu uppfyller nu:

  •  |\mu|(X) = \mu^+(X) + \mu^-(X) < \infty
  • \mu^+(E) = \inf\{\mu^+(U): E \subset U, U \mbox{ open } \}, \mu^-(E) = \inf\{\mu^-(U): E \subset U, U \mbox{ open } \}
  • \mu^+(E) = \sup\{\mu^+(K): K \subset E, U \mbox{ kompakt } \} , \mu^-(E) = \sup\{\mu^-(K): K \subset E, U \mbox{ kompakt } \}
  •  ||\Lambda|| = |\mu|(X)= \mu^+(X) + \mu^-(X) = ||\mu|| \,

Källor[redigera | redigera wikitext]

  • M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1414–1416.
  • F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1409–1411.
  • F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionnelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977.
  • P. Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
  • P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems).